Apa yang harus dilakukan jika diskriminan adalah 0 contoh. Solusi persamaan kuadrat lengkap. Contoh menentukan akar persamaan kuadrat

V masyarakat modern kemampuan untuk beroperasi dengan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna di banyak bidang kegiatan dan banyak digunakan dalam praktik dalam perkembangan ilmiah dan teknis. Hal ini dapat dibuktikan dengan desain kapal laut dan sungai, pesawat terbang dan rudal. Dengan bantuan perhitungan seperti itu, lintasan pergerakan berbagai benda, termasuk benda luar angkasa, ditentukan. Contoh dengan solusi persamaan kuadrat digunakan tidak hanya dalam peramalan ekonomi, dalam desain dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan dalam perjalanan berkemah, di acara olahraga, di toko saat berbelanja dan dalam situasi umum lainnya.

Mari kita pecahkan ekspresi menjadi faktor komponen

Derajat persamaan ditentukan nilai maksimum derajat variabel yang berisi ekspresi yang diberikan. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat.

Jika kita berbicara dalam bahasa rumus, maka ekspresi ini, bagaimanapun bentuknya, selalu dapat dibawa ke bentuk ketika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga istilah. Diantaranya: ax 2 (yaitu, variabel kuadrat dengan koefisiennya), bx (yang tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu bilangan biasa). Semua ini di sisi kanan sama dengan 0. Dalam kasus ketika polinomial seperti itu tidak memiliki salah satu suku penyusunnya, dengan pengecualian ax 2, itu disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Contoh dengan solusi dari masalah seperti itu, di mana nilai variabel tidak sulit ditemukan, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ekspresi terlihat seperti memiliki dua suku di sisi kanan ekspresi, lebih tepatnya ax 2 dan bx, paling mudah untuk menemukan x dengan mengurung variabel. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x(ax+b). Selanjutnya, menjadi jelas bahwa x=0, atau masalahnya direduksi menjadi menemukan variabel dari ekspresi berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya mengatakan bahwa produk dari dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya adalah nol.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.

Persamaan semacam ini dapat menggambarkan pergerakan benda di bawah aksi gravitasi, yang mulai bergerak dari titik tertentu, yang diambil sebagai asalnya. Di sini notasi matematika mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan mengganti nilai-nilai yang diperlukan, menyamakan sisi kanan ke 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat tubuh naik hingga saat jatuh, serta banyak kuantitas lainnya. Tapi kita akan membicarakan ini nanti.

Memfaktorkan Ekspresi

Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan untuk memecahkan masalah ini dan lebih banyak lagi kasus-kasus sulit. Pertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat jenis ini.

X2 - 33x + 200 = 0

Trinomial persegi ini selesai. Pertama, kami mengubah ekspresi dan menguraikannya menjadi faktor. Ada dua di antaranya: (x-8) dan (x-25) = 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.

Contoh dengan solusi persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini untuk menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya dari yang kedua, tetapi bahkan dari urutan ketiga dan keempat.

Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ketika memfaktorkan ruas kanan ke dalam faktor dengan variabel, ada tiga di antaranya, yaitu (x + 1), (x-3) dan (x + 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -satu; 3.

Mengekstrak akar kuadrat

Kasus lain dari persamaan orde kedua yang tidak lengkap adalah ekspresi yang ditulis dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga ruas kanan dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, istilah bebas ditransfer ke sisi kanan, dan setelah itu, akar kuadrat diekstraksi dari kedua sisi persamaan. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini biasanya ada dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung istilah c sama sekali, di mana variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi ketika sisi kanan ternyata negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh solusi untuk persamaan kuadrat jenis ini harus dipertimbangkan.

Dalam hal ini, akar persamaan akan menjadi angka -4 dan 4.

Perhitungan luas tanah

Kebutuhan akan perhitungan semacam ini muncul pada zaman dahulu, karena perkembangan matematika pada masa yang jauh itu sebagian besar disebabkan oleh kebutuhan untuk menentukan luas dan keliling petak-petak tanah dengan akurasi terbesar.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh dengan solusi persamaan kuadrat yang disusun berdasarkan masalah semacam ini.

Jadi, misalkan ada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 16 meter lebih dari lebarnya. Anda harus menemukan panjang, lebar, dan keliling situs, jika diketahui bahwa luasnya adalah 612 m 2.

Turun ke bisnis, pada awalnya kita akan membuat persamaan yang diperlukan. Mari kita nyatakan lebar bagian sebagai x, maka panjangnya akan menjadi (x + 16). Dari apa yang telah ditulis, luas ditentukan oleh ekspresi x (x + 16), yang, menurut kondisi masalah kita, adalah 612. Ini berarti bahwa x (x + 16) \u003d 612.

Solusi persamaan kuadrat lengkap, dan ekspresi ini hanya itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun ruas kirinya masih mengandung dua faktor, hasil perkaliannya sama sekali tidak sama dengan 0, jadi digunakan metode lain di sini.

diskriminatif

Pertama-tama, kita akan membuat transformasi yang diperlukan, lalu penampilan ekspresi ini akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini berarti bahwa kita telah menerima ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c=-612.

Ini bisa menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadrat melalui diskriminan. Di Sini perhitungan yang diperlukan diproduksi sesuai dengan skema: D = b 2 - 4ac. Nilai bantu ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan nilai yang diinginkan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan angka pilihan. Dalam kasus D>0, ada dua di antaranya; untuk D=0 ada satu akar. Dalam kasus D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tentang akar dan formulanya

Dalam kasus kami, diskriminannya adalah: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahwa masalah kami memiliki jawaban. Jika Anda tahu, solusi persamaan kuadrat harus dilanjutkan dengan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung akarnya.

Ini berarti bahwa dalam kasus yang disajikan: x 1 =18, x 2 =-34. Opsi kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena ukuran bidang tanah tidak dapat diukur dalam nilai negatif, yang berarti bahwa x (yaitu, lebar bidang) adalah 18 m. Dari sini kami menghitung panjangnya: 18+16=34, dan keliling 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Contoh dan tugas

Kami melanjutkan studi tentang persamaan kuadrat. Contoh dan solusi terperinci dari beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, buat transformasi, yaitu, kita mendapatkan bentuk persamaan, yang biasanya disebut persamaan standar, dan menyamakannya dengan nol.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Setelah menambahkan yang serupa, kami menentukan diskriminan: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Jadi persamaan kami akan memiliki dua akar. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus di atas, yang berarti bahwa yang pertama akan sama dengan 4/3, dan yang kedua 1.

2) Sekarang kami akan mengungkapkan teka-teki dari jenis yang berbeda.

Mari kita cari tahu apakah ada akar x 2 - 4x + 5 = 1 di sini? Untuk mendapatkan jawaban yang lengkap, kami membawa polinomial ke bentuk akrab yang sesuai dan menghitung diskriminan. Dalam contoh ini, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadrat, karena esensi masalahnya sama sekali tidak ada dalam hal ini. Dalam hal ini, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, yang berarti benar-benar tidak ada akar.

teorema Vieta

Lebih mudah untuk memecahkan persamaan kuadrat melalui rumus di atas dan diskriminan, ketika akar kuadrat diekstraksi dari nilai yang terakhir. Tapi ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Dinamai setelah seorang pria yang tinggal di Prancis abad ke-16 dan memiliki karir yang cemerlang berkat bakat matematika dan koneksi di pengadilan. Potretnya bisa dilihat di artikel.

Pola yang diperhatikan oleh orang Prancis yang terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa jumlah akar persamaan sama dengan -p=b/a, dan hasil kali mereka sesuai dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x2 + 21x - 54 = 0

Untuk mempermudah, mari kita ubah ekspresinya:

x 2 + 7x - 18 = 0

Menggunakan teorema Vieta, ini akan memberi kita yang berikut: jumlah akarnya adalah -7, dan produknya adalah -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah melakukan pemeriksaan, kita akan memastikan bahwa nilai variabel ini benar-benar sesuai dengan ekspresi.

Grafik dan Persamaan Parabola

Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat terkait erat. Contoh-contoh ini telah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematika sedikit lebih detail. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat direpresentasikan secara visual. Ketergantungan seperti itu, yang digambarkan dalam bentuk grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Setiap parabola memiliki simpul, yaitu titik dari mana cabang-cabangnya keluar. Jika a>0, mereka menjadi tinggi hingga tak terhingga, dan ketika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafik. Dan nilai variabel x adalah koordinat absis pada titik-titik perpotongan garis grafik dengan 0x. Koordinat titik dapat ditemukan dengan rumus yang baru saja diberikan x 0 = -b / 2a. Dan, dengan mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan fungsi asli, Anda dapat menemukan y 0, yaitu, koordinat kedua titik parabola yang termasuk dalam sumbu y.

Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis

Ada banyak contoh dengan solusi persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita pertimbangkan mereka. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a>0 hanya mungkin jika y 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dari grafik parabola, Anda juga dapat menentukan akar-akarnya. Kebalikannya juga benar. Artinya, jika tidak mudah untuk mendapatkan representasi visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan sisi kanan ekspresi menjadi 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik potong dengan sumbu 0x lebih mudah untuk diplot.

Dari sejarah

Dengan bantuan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, di masa lalu, tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bentuk geometris. Orang dahulu membutuhkan perhitungan seperti itu untuk penemuan muluk di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang disarankan oleh para ilmuwan modern, penduduk Babel termasuk yang pertama memecahkan persamaan kuadrat. Itu terjadi empat abad sebelum munculnya zaman kita. Tentu saja, perhitungan mereka pada dasarnya berbeda dari yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, matematikawan Mesopotamia tidak tahu tentang keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui oleh siswa mana pun di zaman kita.

Mungkin bahkan lebih awal dari para ilmuwan Babel, orang bijak dari India, Baudhayama, mengambil solusi persamaan kuadrat. Ini terjadi sekitar delapan abad sebelum munculnya zaman Kristus. Benar, persamaan orde kedua, metode penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Cina juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian mereka digunakan dalam pekerjaan mereka oleh para ilmuwan hebat seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.

”, yaitu persamaan derajat pertama. Dalam pelajaran ini, kita akan mengeksplorasi apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana menyelesaikannya.

Apa itu persamaan kuadrat

Penting!

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh derajat tertinggi yang tidak diketahui berdiri.

Jika tingkat maksimum yang tidak diketahui berdiri adalah "2", maka Anda memiliki persamaan kuadrat.

Contoh persamaan kuadrat

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 8 = 0

Penting! Bentuk umum persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - koefisien pertama atau senior;
• "b" - koefisien kedua;
• "c" adalah anggota gratis.

Untuk menemukan "a", "b" dan "c" Anda perlu membandingkan persamaan Anda dengan bentuk umum persamaan kuadrat "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Mari berlatih menentukan koefisien "a", "b" dan "c" dalam persamaan kuadrat.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = 8

Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat

Tidak seperti persamaan linier, persamaan khusus digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. rumus mencari akar.

Ingat!

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda perlu:

• bawa persamaan kuadrat ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0". Artinya, hanya "0" yang harus tetap berada di sisi kanan;
• gunakan rumus akar :

Mari kita gunakan contoh untuk mengetahui bagaimana menerapkan rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Mari selesaikan persamaan kuadrat.

X 2 - 3x - 4 = 0

Persamaan "x 2 - 3x - 4 = 0" telah direduksi menjadi bentuk umum "ax 2 + bx + c = 0" dan tidak memerlukan penyederhanaan tambahan. Untuk mengatasinya, kita hanya perlu menerapkan rumus mencari akar persamaan kuadrat.

Mari kita tentukan koefisien "a", "b" dan "c" untuk persamaan ini.

Dengan bantuannya, persamaan kuadrat apa pun diselesaikan.

Dalam rumus "x 1; 2 \u003d" ekspresi root sering diganti
"b 2 4ac" ke huruf "D" dan disebut diskriminan. Konsep diskriminan dibahas secara lebih rinci dalam pelajaran "Apa itu diskriminan".

Perhatikan contoh lain dari persamaan kuadrat.

x 2 + 9 + x = 7x

Dalam bentuk ini, agak sulit untuk menentukan koefisien "a", "b", dan "c". Pertama-tama mari kita bawa persamaan ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 6x + 9 = 0

Sekarang Anda dapat menggunakan rumus untuk akarnya.

X 1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x=

Ada kalanya tidak ada akar dalam persamaan kuadrat. Situasi ini terjadi ketika angka negatif muncul dalam rumus di bawah akar.

Hanya. Menurut rumus dan aturan sederhana yang jelas. Pada tahap pertama

perlu untuk membawa persamaan yang diberikan ke bentuk standar, yaitu. ke tampilan:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama. Yang penting benar

tentukan semua koefisien sebuah, B dan C.

Rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat.

Ekspresi di bawah tanda akar disebut pembeda . Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan x, kita

menggunakan hanya a, b dan c. Itu. peluang dari persamaan kuadrat. Cukup masukkan dengan hati-hati

nilai-nilai a, b dan c ke dalam rumus ini dan menghitung. Ganti dengan milik mereka tanda-tanda!

misalnya, dalam persamaan:

sebuah =1; B = 3; C = -4.

Ganti nilainya dan tulis:

Contoh hampir terpecahkan:

Ini adalah jawabannya.

Kesalahan yang paling umum adalah kebingungan dengan tanda-tanda nilai a, b dan Dengan. Sebaliknya, dengan substitusi

nilai negatif ke dalam rumus untuk menghitung akar. Di sini rumus terperinci menyimpan

dengan angka-angka tertentu. Jika ada masalah dengan perhitungan, lakukanlah!

Misalkan kita perlu memecahkan contoh berikut:

Di Sini sebuah = -6; B = -5; C = -1

Kami melukis semuanya dengan detail, hati-hati, tanpa melewatkan apa pun dengan semua tanda dan tanda kurung:

Seringkali persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya, seperti ini:

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara dramatis mengurangi jumlah kesalahan.

Resepsi pertama. Jangan malas dulu menyelesaikan persamaan kuadrat membawanya ke bentuk standar.

Apa artinya ini?

Misalkan, setelah transformasi apa pun, Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan buru-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mencampuradukkan peluang a, b dan c.

Bangun contoh dengan benar. Pertama, x kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu anggota bebas. Seperti ini:

Singkirkan minusnya. Bagaimana? Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Dan sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus untuk akar, menghitung diskriminan dan menyelesaikan contoh.

Putuskan sendiri. Anda harus berakhir dengan akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akar Anda! Oleh teorema Vieta.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang diberikan, mis. jika koefisien

x2+bx+c=0,

kemudianx 1 x 2 = c

x1 +x2 =−B

Untuk persamaan kuadrat lengkap di mana a≠1:

x 2 +Bx+C=0,

membagi seluruh persamaan dengan sebuah:

→ →

di mana x 1 dan x 2 - akar persamaan.

Penerimaan ketiga. Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, singkirkan pecahan! Berkembang biak

persamaan untuk penyebut yang sama.

Kesimpulan. Tip Praktis:

1. Sebelum menyelesaikan, kita bawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, bangunlah Baik.

2. Jika ada koefisien negatif di depan x dalam bujur sangkar, kita hilangkan dengan mengalikan semuanya

persamaan untuk -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan yang sesuai

faktor.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diperiksa dengan

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Diskriminan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun menggunakan rumus umum, yang memiliki bentuk berikut:

Rumus diskriminan tergantung pada derajat polinomial. Rumus di atas cocok untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

Diskriminan memiliki sifat-sifat berikut yang perlu Anda ketahui:

* "D" adalah 0 ketika polinomial memiliki banyak akar (akar yang sama);

* "D" adalah polinomial simetris terhadap akar polinomial dan oleh karena itu merupakan polinomial dalam koefisiennya; selain itu, koefisien polinomial ini adalah bilangan bulat, terlepas dari ekstensi di mana akar diambil.

Misalkan kita diberikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

1 persamaan

Menurut rumus yang kita miliki:

Karena \, maka persamaan memiliki 2 akar. Mari kita definisikan:

Di mana saya dapat menyelesaikan persamaan melalui pemecah online diskriminan?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.