Persamaan eksponensial dan sistemnya. persamaan eksponensial. Kasus yang lebih sulit. Pekerjaan rumah
Bagian: Matematika
Tujuan Pelajaran:
Pendidikan: mengajarkan bagaimana memecahkan sistem persamaan eksponensial; mengkonsolidasikan keterampilan memecahkan persamaan yang termasuk dalam sistem ini
Pendidikan: menumbuhkan akurasi.
Mengembangkan: mengembangkan budaya lisan dan tulisan.
Peralatan: komputer; proyektor multimedia.
Selama kelas
Mengatur waktu
Guru. Hari ini kita akan melanjutkan studi kita tentang bab “Fungsi Eksponensial”. Topik pelajaran akan dirumuskan sedikit kemudian. Selama pelajaran, Anda akan mengisi lembar jawaban yang ada di meja Anda ( cm. aplikasi nomor 1 ). Jawabannya akan dirangkum.
Pembaruan pengetahuan.
Siswa menjawab pertanyaan:
- Apa fungsi eksponensial?
pekerjaan lisan. Kerjakan slide 1 sampai 5.
- Apa itu persamaan eksponensial?
- Metode solusi apa yang Anda ketahui?
Pekerjaan lisan pada slide 6 sampai 10.
- Sifat fungsi eksponensial apa yang digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial?
Karya lisan pada slide 11 sampai 15.
Olahraga. Tuliskan jawaban dari pertanyaan-pertanyaan tersebut pada lembar jawaban No. 1. ( cm. aplikasi nomor 1 ). (slide 16 hingga 31)
Memeriksa pekerjaan rumah
.Kami memeriksa pekerjaan rumah dengan cara berikut.
Ganti akar persamaan dengan huruf yang sesuai dan tebak kata.
Siswa melihat lembar jawaban nomor 2 ( Lampiran 1) . Guru mendemonstrasikan slide nomor 33
(Siswa menyebutkan kata (slide No. 34)).
- Fenomena apa yang terjadi menurut hukum fungsi ini?
Siswa diajak untuk menyelesaikan tugas dari Unified State Examination B12 (slide 35) dan menuliskan penyelesaiannya pada formulir jawaban No. 3 ( Lampiran 1).
Selama memeriksa pekerjaan rumah dan menyelesaikan tugas B12, kami akan mengulangi metode untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.
Siswa menyimpulkan bahwa untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel, diperlukan persamaan lain.
Kemudian topik pelajaran dirumuskan (slide No. 37).
Sistem ini ditulis dalam buku catatan (slide No. 38).
Untuk menyelesaikan sistem ini, kita ulangi metode substitusi (slide No. 39).
Metode penambahan diulang selama penyelesaian sistem (slide 38 hingga 39).
Konsolidasi primer dari materi yang dipelajari
:Siswa secara mandiri menyelesaikan sistem persamaan bentuk jawaban no. 4 ( Lampiran 1 ), menerima saran individu dari guru.
Meringkas. Cerminan.
Lanjutkan frasa.
- Hari ini di kelas saya melakukan ...
- Hari ini di kelas saya memperbaiki ...
- Hari ini di kelas saya belajar...
- Hari ini di kelas saya belajar...
Di akhir pelajaran, siswa menuliskan pekerjaan rumah mereka dan menyerahkan lembar jawaban mereka.
Pekerjaan rumah:
59 (genap) dan 62 (genap).literatur
- Semua tugas dari grup USE 3000 tugas - Rumah penerbitan "Ujian" Moskow, 2011. Diedit oleh A.L. Semenova, I.V. Yaschenko.
- S.A. Shestakov, P.I. Zakharov MENGGUNAKAN masalah matematika 2010 C1 diedit oleh A.L. Semenova, I.V. Penerbit Yashchenko Moscow "MTsNMO".
- tutorial Aljabar dan permulaan analisis matematika, kelas 10 Yu.M. Kolyagin Moscow "Pencerahan", 2008.
dan x = b adalah persamaan eksponensial paling sederhana. Di dalam dia sebuah lebih besar dari nol dan sebuah tidak sama dengan satu.
Solusi persamaan eksponensial
Dari sifat-sifat fungsi eksponensial, kita tahu bahwa rentang nilainya terbatas pada bilangan real positif. Maka jika b = 0, persamaan tidak memiliki solusi. Situasi yang sama terjadi dalam persamaan di mana b
Sekarang mari kita asumsikan bahwa b>0. Jika dalam fungsi eksponensial, basis sebuah lebih besar dari satu, maka fungsinya akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis sebuah kondisi berikut terpenuhi 0 Berdasarkan ini dan menerapkan teorema akar, kita mendapatkan bahwa persamaan a x = b memiliki satu akar tunggal, untuk b>0 dan positif sebuah tidak sama dengan satu. Untuk menemukannya, Anda perlu merepresentasikan b dalam bentuk b = a c . Perhatikan contoh berikut: selesaikan persamaan 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Mari kita nyatakan 25 sebagai 5 2 , kita mendapatkan: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Atau apa yang setara: x 2 - 2*x - 1 = 2. Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan dengan salah satu metode yang dikenal. Kami mendapatkan dua akar x = 3 dan x = -1. Jawaban: 3;-1. Selesaikan persamaan 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Buat penggantinya: t=2 x dan dapatkan persamaan kuadrat berikut: t 2 - 5*t + 4 = 0. Sekarang kita selesaikan persamaan 2 x = 1 dan 2 x = 4. Jawaban: 0;2. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana juga didasarkan pada sifat-sifat fungsi naik dan turun. Jika dalam fungsi eksponensial basis a lebih besar dari satu, maka fungsi tersebut akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis sebuah kondisi berikut terpenuhi: 0 Perhatikan sebuah contoh: selesaikan pertidaksamaan (0,5) (7 - 3*x)< 4. Perhatikan bahwa 4 = (0,5) 2 . Maka pertidaksamaan berbentuk (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Kami mendapatkan: 7 - 3*x>-2. Dari sini: x<3. jawaban: x<3. Jika dalam pertidaksamaan basis lebih besar dari satu, maka pada saat menghilangkan basis, tanda pertidaksamaan tidak perlu diubah. Bahan tambahan Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11 Definisi. Persamaan bentuk: $a^(f(x))=a^(g(x))$, dengan $a>0$, $a≠1$ disebut persamaan eksponensial. Mengingat teorema yang kita pelajari dalam topik "Fungsi eksponensial", kita dapat memperkenalkan teorema baru: B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) Persamaan aslinya setara dengan persamaan: $x^2-6x=-3x+18$. Contoh. Contoh. Mari kita membuat catatan tentang cara-cara untuk menyelesaikan persamaan eksponensial: Contoh. Dalil. Jika $a>1$, maka pertidaksamaan eksponensial $a^(f(x))>a^(g(x))$ sama dengan pertidaksamaan $f(x)>g(x)$. Contoh. B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dalam persamaan kita, basis dengan derajat lebih kecil dari 1, maka saat mengganti pertidaksamaan dengan pertidaksamaan yang ekuivalen, tandanya perlu diubah. C) Pertidaksamaan kita setara dengan pertidaksamaan: Menjawab: $(-4,6)$. Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan Gambar 3 Larutan. Sistem ini setara dengan sistem Gambar 4 Kami menerapkan metode keempat untuk menyelesaikan persamaan. Misalkan $2^x=u\ (u >0)$ dan $3^y=v\ (v >0)$, kita peroleh: Gambar 5 Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan metode penambahan. Mari kita tambahkan persamaan:
\ \ Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkan bahwa Kembali ke penggantian, saya menerima sistem persamaan eksponensial baru: Gambar 6 Kita mendapatkan: Gambar 7 Menjawab: $(0,1)$. Definisi 2 Sistem pertidaksamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem pertidaksamaan eksponensial. Kami akan mempertimbangkan solusi sistem pertidaksamaan eksponensial menggunakan contoh. Contoh 3 Memecahkan sistem pertidaksamaan Angka 8 Larutan: Sistem ketidaksetaraan ini setara dengan sistem Gambar 9 Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, ingat teorema kesetaraan berikut untuk pertidaksamaan eksponensial: Teorema 1. Pertidaksamaan $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, di mana $a >0,a\ne 1$ ekuivalen dengan himpunan dua sistem
\}
Maka jelas bahwa Dengan akan menjadi solusi untuk persamaan a x = a c .
Kami memecahkan persamaan ini dengan salah satu metode yang dikenal. Kami mendapatkan akar t1 = 1 t2 = 4Memecahkan pertidaksamaan eksponensial
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial"
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"Definisi persamaan eksponensial
Kawan, kami mempelajari fungsi eksponensial, mempelajari propertinya dan membuat grafik, menganalisis contoh persamaan di mana fungsi eksponensial ditemukan. Hari ini kita akan mempelajari persamaan eksponensial dan pertidaksamaan.
Dalil. Persamaan eksponensial $a^(f(x))=a^(g(x))$, di mana $a>0$, $a≠1$ ekuivalen dengan persamaan $f(x)=g(x) $.Contoh persamaan eksponensial
Contoh.
Selesaikan Persamaan:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Larutan.
a) Kita tahu betul bahwa $27=3^3$.
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $3^(3x-3)=3^3$.
Dengan menggunakan teorema di atas, kita mendapatkan bahwa persamaan kita direduksi menjadi persamaan $3x-3=3$, menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan $x=2$.
Jawab: $x=2$.
Maka persamaan kita dapat ditulis ulang: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Jawaban: $x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Selesaikan persamaan: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Larutan:
Kami akan secara berurutan melakukan serangkaian tindakan dan membawa kedua bagian persamaan kami ke basis yang sama.
Mari kita lakukan serangkaian operasi di sisi kiri:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Mari kita beralih ke sisi kanan:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Persamaan asli setara dengan persamaan:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.
Selesaikan persamaan: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Larutan:
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Mari kita membuat perubahan variabel, misalkan $a=3^x$.
Dalam variabel baru, persamaan akan berbentuk: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ dan $a_2=3$.
Mari kita lakukan perubahan kebalikan dari variabel: $3^x=-12$ dan $3^x=3$.
Dalam pelajaran terakhir, kita belajar bahwa ekspresi eksponensial hanya dapat mengambil nilai positif, ingat grafiknya. Ini berarti persamaan pertama tidak memiliki solusi, persamaan kedua memiliki satu solusi: $x=1$.
Jawaban: $x=1$.
1. Metode grafis. Kami mewakili kedua bagian persamaan sebagai fungsi dan membangun grafiknya, menemukan titik persimpangan grafik. (Kami menggunakan metode ini dalam pelajaran terakhir).
2. Prinsip kesetaraan indikator. Prinsip ini didasarkan pada kenyataan bahwa dua ekspresi dengan basis yang sama adalah sama jika dan hanya jika derajat (eksponen) dari basis ini sama. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metode perubahan variabel. Metode ini harus digunakan jika persamaan, ketika mengubah variabel, menyederhanakan bentuknya dan lebih mudah untuk dipecahkan.
Memecahkan sistem persamaan: $\begin (kasus) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(kasus)$.
Larutan.
Pertimbangkan kedua persamaan sistem secara terpisah:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3th)*3^x=3^0$.
$3^(3th+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Perhatikan persamaan kedua:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Mari kita gunakan metode perubahan variabel, misalkan $y=2^(x+y)$.
Maka persamaan akan berbentuk:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ dan $y_2=-3$.
Mari kita beralih ke variabel awal, dari persamaan pertama kita mendapatkan $x+y=2$. Persamaan kedua tidak memiliki solusi. Maka sistem persamaan awal kita ekuivalen dengan sistem: $\begin (kasus) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(kasus)$.
Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita dapatkan: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(kasus)$.
$\begin (kasus) y=-1, \\ x=3. \end(kasus)$.
Jawaban: $(3;-1)$.pertidaksamaan eksponensial
Mari kita beralih ke ketidaksetaraan. Saat memecahkan ketidaksetaraan, perlu memperhatikan dasar derajat. Ada dua skenario yang mungkin untuk pengembangan peristiwa ketika memecahkan ketidaksetaraan.
Jika $0
Memecahkan ketidaksetaraan:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Larutan.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ketimpangan kita setara dengan pertidaksamaan:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
$2x-4>2$.
$x>3$.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Mari kita gunakan metode solusi interval:
Jawaban: $(-∞;-5]U \ \
Sistem pertidaksamaan eksponensial
