Как определить, лежат ли точки на одной прямой. Как определить, лежат ли точки на одной прямой Лежат ли точки на одной
Если точки А, B и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков AB, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (AB+BC) равна 7 см. Поэтому точки А, B и С не лежат на одной прямой.
Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (АС =5 см), а АВ + ВС = 7 см, поэтому точки А, В, С не лежат на одной прямой.
Похожие задачи:
1. Площадь ромба равна S. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба.
2. Две окружности с центрами в точках О1 и О2 пересекаются в точках А и А1, а отрезки АВ и АС - их диаметры. Найдите величины углов АА1В и АА1С и докажите, что точки В, А1 и С лежат на одной прямой.
3. Медианы треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника.
4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол ABD=30*, угол ACB=30*, угол BDC=20*. Найти углы четырехугольника ABCD.
1) Катеты прямоугольного треугольника равны 15см и 20см. Найдите длину окружности, диаметром которой является высота, проведенная к гипотенузе.
2) Площадь квадрата равна S. Найдите:
а) длину вписанной окружности
б) длину дуги, заключенной между двумя соседними точками касания.
в) площадь части квадрата, лежащей вне вписанной окружности.
1. Две окружности с центрами О и К имеют соответственно радиусы 4 и 8 см. Найдите радиусы окружностей, касающихся одновременно двух данных, если их центры лежат на прямой ОК, и отрезок ОК равен 6 см.
2. Высоты треугольника, пересекаясь в точке Н, образуют шесть углов с вершиной в точке Н. Определите эти углы, если углы данного треугольника равны: 50, 60, 70 градусов.
Если вам даны две точки , то вы можете смело заявить, что они лежат на одной прямой , так как через любые две точки можно провести прямую. Но как же выяснить, лежат ли все точки на прямой , если точек три, четыре или больше? Доказать принадлежность точек одной прямой можно несколькими способами.
Вам понадобится
- Точки, заданные координатами.
Инструкция
Если вам даны точки с координатами (х1, у1, z1), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), найдите уравнение прямой , используя координаты любых двух точек, например, первой и второй. Для этого подставьте соответствующие значения в уравнение прямой : (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Если один из знаменателей равен нулю, просто приравняйте к нулю числитель.
Найти уравнение прямой , зная две точки с координатами (х1, у1), (х2, у2), еще проще. Для этого подставьте значения в формулу (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1).
Получив уравнение прямой , проходящей через две точки , подставьте значения координат третьей точки в него вместо переменных х и у. Если равенство получилось верное, значит все три точки лежат на одной прямой . Точно так же можете проверять принадлежность этой прямой других точек.
Проверьте принадлежность всех точек прямой , проверив равенство тангенсов углов наклона соединяющих их отрезков. Для этого проверьте, будет ли верным равенство (х2-х1)/(х3-х1)=(у2-у1)/(у3-у1)=(z2-z1)/(z3-z1). Если один из знаменателей равен нулю, то для принадлежности всех точек одной прямой должно выполняться условие х2-х1=х3-х1, у2-у1=у3-у1, z2-z1=z3-z1.
Еще один способ проверить принадлежность трех точек прямой – посчитайте площадь треугольника, который они образуют. Если все точки лежат на прямой , то его площадь будет равна нулю. Подставьте значения координат в формулу: S=1/2((х1-х3)(у2-у3)-(х2-х3)(у1-у3)). Если после всех вычислений вы получили ноль - значит, три точки лежат на одной прямой .
Чтобы найти решение задачи графическим способом, постройте координатные плоскости и найдите точки по указанным координатам. Затем проведите прямую через две из них и продолжите до третьей точки , посмотрите, пройдет ли она через нее. Учтите, этот способ подходит только для точек, заданных на плоскости с координатами (х, у), если же точка задана в пространстве и имеет координаты (х, у, z), то такой способ неприменим.
Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой
На основании аксиомы, описывающей свойства прямой : какова бы ни была прямая, есть точки , принадлежащие и не принадлежащие ей. Поэтому вполне логично, что не все точки будут лежать на одной прямой линии.
Вам понадобится
- - карандаш;
- - линейка;
- - ручка;
- - тетрадь;
- - калькулятор.
Инструкция
Проверить принадлежность точки той либо иной прямой довольно просто. Используйте для этого уравнение прямой . Итак, предположим, что прямая проходит через точки А(x1,y1) и В(x2,y2). Дана точка К(x,y): нужно проверить ее принадлежность прямой . Уравнение линии по двум точкам имеет следующий вид: (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0.
Подставьте значение координат точки К в уравнение. Если (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) окажется больше нуля, то точка К расположена правее или ниже прямой , проведенной по точкам А и В.
В том случае, если (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) будет меньше нуля, точка К располагается выше или левее линии. Другими словами, только в том случае, если уравнение вида (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 справедливо, точки А, В и К будут расположены на одной прямой .
Очень часто при решения домашней работы возникает вопрос: когда 3 точки лежат на одной прямой, ответ очень прост и он лежит в основе геометрии.
Осуществить проверку того, что три точки лежат на одной прямой можно через составления уравнения, рассматриваемой прямой, которая проходит через две наугад выбранные точки из этих трех. И проверки того, что этому уравнению удовлетворяют координаты оставшейся из этих трех точек.
Есть разные виды уравнения прямой. Воспользуемся одним из простейших способов и рассмотрим его для конкретно заданных точек.
Это сделаем лишь для того, чтобы не решать поставленную задачу в общем виде, а чтобы дать ответ на вопрос лежат ли 3 именно эти точки с этими координатами на одной прямой. Сформулируем задачу: Необходимо проверить лежат ли точки A(-2;1), Б(0;3), В (5;-7) на одной прямой.
Решим поставленную задачу
Как известно, через любые две точки можно провести прямую, причем единственную. Вот и проведем мысленно эту прямую. Допустим, прямую АБ. Значит, решение нашей задачи свелось к тому, что нужно проверить: принадлежит ли точка В прямой АБ. Если окажется, что точка В принадлежит прямой АБ, то все точки из условия будут лежать на одной прямой. Если мы выясним, что точка В не принадлежит прямой АБ, то можно будет утверждать, что точки А, Б и В на одной прямой не лежат. Составим уравнение прямой АБ как уравнение прямой проходящей через две точки:
(х+2)/(0+2)=(y-1)/(3-1)
После преобразования получим:
x-y=-3 - это уравнение прямой АБ
Проверим удовлетворяют ли координаты точки В этому уравнению, для этого достаточно выполнить подстановку координат точки В в место переменных в уравнении прямой АБ. Если получим верное числовое равенство, то точка В - это точка прямой АБ. В противном случае, неверное числовое равенство, будет свидетельствовать о не принадлежности точки В прямой АБ.
Как видим, не получили верное числовое равенство. Значит в этом случае точки А, Б, В не лежат на одной прямой.
Пример, когда 3 точки лежат на одной прямой можно легко подобрать для этой задачи. Всего лишь точка В должна иметь координаты (0;3) или (-7;-4)
Если вам даны две точки , то вы можете отважно заявить, что они лежат на одной прямой , потому что через всякие две точки дозволено провести прямую. Но как же узнать, лежат ли все точки на прямой , если точек три, четыре либо огромнее? Подтвердить принадлежность точек одной прямой дозволено несколькими методами.
Вам понадобится
- Точки, заданные координатами.
Инструкция
1. Если вам даны точки с координатами (х1, у1, z1), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), обнаружьте уравнение прямой , применяя координаты всяких 2-х точек, скажем, первой и 2-й. Для этого подставьте соответствующие значения в уравнение прямой : (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Если один из знаменателей равен нулю, примитивно приравняйте к нулю числитель.
2. Обнаружить уравнение прямой , зная две точки с координатами (х1, у1), (х2, у2), еще проще. Для этого подставьте значения в формулу (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1).
3. Получив уравнение прямой , проходящей через две точки , подставьте значения координат третьей точки в него взамен переменных х и у. Если равенство получилось правильное, значит все три точки лежат на одной прямой . Верно так же можете проверять принадлежность этой прямой других точек.
4. Проверьте принадлежность всех точек прямой , проверив равенство тангенсов углов наклона соединяющих их отрезков. Для этого проверьте, будет ли правильным равенство (х2-х1)/(х3-х1)=(у2-у1)/(у3-у1)=(z2-z1)/(z3-z1). Если один из знаменателей равен нулю, то для принадлежности всех точек одной прямой должно выполняться условие х2-х1=х3-х1, у2-у1=у3-у1, z2-z1=z3-z1.
5. Еще один метод проверить принадлежность 3 точек прямой – посчитайте площадь треугольника, тот, что они образуют. Если все точки лежат на прямой , то его площадь будет равна нулю. Подставьте значения координат в формулу: S=1/2((х1-х3)(у2-у3)-(х2-х3)(у1-у3)). Если позже всех вычислений вы получили нуль – значит, три точки лежат на одной прямой .
6. Дабы обнаружить решение задачи графическим методом, постройте координатные плоскости и обнаружьте точки по указанным координатам. После этого проведите прямую через две из них и продолжите до третьей точки , посмотрите, пройдет ли она через нее. Учтите, данный метод подходит только для точек, заданных на плоскости с координатами (х, у), если же точка задана в пространстве и имеет координаты (х, у, z), то такой метод неприменим.
Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой
На основании аксиомы, описывающей свойства прямой : какова бы ни была прямая, есть точки , принадлежащие и не принадлежащие ей. Следственно абсолютно разумно, что не все точки будут лежать на одной прямой линии.
Вам понадобится
- – карандаш;
- – линейка;
- – ручка;
- – тетрадь;
- – калькулятор.
Инструкция
1. Проверить принадлежность точки той либо другой прямой достаточно легко. Используйте для этого уравнение прямой . Выходит, представим, что прямая проходит через точки А(x1,y1) и В(x2,y2). Дана точка К(x,y): необходимо проверить ее принадлежность прямой . Уравнение линии по двум точкам имеет дальнейший вид: (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0.
2. Подставьте значение координат точки К в уравнение. Если (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) окажется огромнее нуля, то точка К расположена правее либо ниже прямой , проведенной по точкам А и В.
3. В том случае, если (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) будет поменьше нуля, точка К располагается выше либо левее линии. Другими словами, только в том случае, если уравнение вида (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0 объективно, точки А, В и К будут расположены на одной прямой .
4. В остальных случаях лишь две точки (А и В), которые, по условию задания, лежат на прямой , будут ей принадлежать: через третью точку (точку К) прямая проходить не будет.
5. Разглядите 2-й вариант определения принадлежности точки примой: на данный раз надобно проверить принадлежит ли точка С(x,y) отрезку с концевыми точками В(x1,y1) и А(x2,y2), тот, что является частью прямой z.
6. Точки рассматриваемого отрезка опишите уравнением pOB+(1-p)OА=z, при условии, что 0?p?1. ОВ и ОА являются векторами. Если есть такое число p, которое огромнее либо равно 0, но поменьше либо равно 1, то pOB+(1-p)OА=С, а значит, точка С будет лежать на отрезке АВ. В отвратном случае, данная точка не будет принадлежать этому отрезку.
7. Распишите равенство pOB+(1-p)OА=С покоординатно: px1+(1-p)x2=x и py1+(1-p)y2=y.
8. Обнаружьте из первого уравнения число р и подставьте его значение во второе равенство. Если равенство будет соответствовать условиям 0?p?1, то точка С принадлежит отрезку АВ.
9. Постройте точки по заданным координатам и проведите через них прямую. Это дозволит увидеть точки , лежащие на одной прямой , и те точки , что не принадлежат ей.
Обратите внимание!
Удостоверитесь в правильности расчетов!
Полезный совет
Дабы обнаружить k – угловой показатель прямой, надобно (y2 – y1)/(x2 – x1).
Построение прямых - основа технического черчения. Теперь это все почаще делается с поддержкой графических редакторов, которые предоставляют проектировщику крупные вероятности. Впрочем некоторые тезисы построения остаются теми же, что и в классическом черчении – с подмогой карандаша и линейки.
Вам понадобится
- – лист бумаги;
- – карандаш;
- – линейка;
- – компьютер с программой AutoCAD.
Инструкция
1. Начните с классического построения. Определите плоскость, в которой вы будете строить прямую. Пускай это будет плоскость листа бумаги. В зависимости от условий задачи расположите точки. Они могут быть произвольными, но не исключено, что задана какая-то система координат. Произвольные точки поставьте там, где вам огромнее понравится. Обозначьте их как А и В. С поддержкой линейки объедините их. Согласно аксиоме, через две точки неизменно дозволено провести прямую, притом только одну.
2. Начертите систему координат. Пускай вам даны координаты точки А (х1; у1). Дабы их обнаружить, нужно отложить по оси х надобное число и провести через подмеченную точку прямую, параллельную оси у. После этого отложите величину, равную у1, по соответствующей оси. Из подмеченной точки проведите перпендикуляр до его пересечения с первым. Место их пересечения и будет точкой А. Таким же образом обнаружьте точку В, координаты которой дозволено обозначить как (х2; у2). Объедините обе точки прямой.
3. В программе AutoCAD прямую дозволено возвести несколькими методами. Функция «по двум точкам» обыкновенно установлена по умолчании. Обнаружьте в верхнем меню вкладку «Основная». Вы увидите перед собой панель «Рисование». Обнаружьте кнопку с изображением прямой линии и нажмите на нее.
4. Прямую по двум точкам в этой программе дозволено возвести двумя методами. Поставьте курсор в надобную точку на экране и щелкните левой кнопкой мыши. После этого определите вторую точку, протяните туда линию и тоже щелкните мышкой.
5. AutoCAD разрешает также задать координаты обеих точек. Наберите в находящейся внизу командной строке (_xline). Нажмите Enter. Введите координаты первой точки и тоже нажмите на ввод. Верно также определите и вторую точку. Ее дозволено указать и щелчком мыши, поставив курсор в необходимую точку экрана.
6. В AutoCAD дозволено возвести прямую не только по двум точкам, но и по углу наклона. В контекстном меню «Рисование» выберите прямую, а после этого опцию «Угол». Начальную точку дозволено поставить щелчком мыши либо по координатам, как и в предыдущем методе. После этого задайте размер угла и нажмите на ввод. По умолчании прямая расположится под необходимым углом к горизонтали.
Видео по теме
Совет 4: Как подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника
Подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника, дозволено легкой проверкой всех допустимых обстановок, тем больше что их не много. Не следует только забывать, что дозволено придти и к событию противоположному, то есть случаю, когда точка является внутренней для заданного треугольника.
Инструкция
1. Раньше чем искать решение поставленной задачи, читателю следует самому принять решение о принадлежности сторон треугольника. Считать их точки внешними для треугольника либо нет. На данной стадии считаем, что это область замкнутая, а следственно она включает свои границы. Для простоты разглядите «плоский случай», но не забывайте и о пространственном обобщении. Следственно типовые уравнения для прямых плоскости вида y=kx+b, применять не следует, по весьма мере в начале решения.
2. Выберите метод задания для сторон треугольника. Судя по постановке задачи, это не имеет твердого значения. Следственно считайте, что даны координаты его вершин A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) (см. рис. 1.). Обнаружьте направляющие векторы сторон треугольника AB={xb-xa, yb-ya}, BC={xc-xb, yc-yb}, AC={xc-xa, yc-ya} и запишите канонические уравнения прямых, содержащих эти стороны. Для AB – (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Для BС – (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-ya). Для AС – (x-xa)/(xc-xa)=(y-ya)/(yc-ya). В соответствии с рисунком проведите горизонтальные и вертикальные линии, которые дозволено записать как x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Это дозволит до минимума сократить число вычислений. Дальше следуйте предложенному алгорифму. На рисунке заданная точка М(xo,yo) помещена в самом «неблагополучном» месте.
3. Следуя по оси 0х, проверьте выполнение неравенства xc?xo?хb. Если оно не исполнено, то точка теснее лежит вне пределов треугольника, потому что «не внутри» – это и есть «снаружи». Если же неравенство исполнено, то дальше проверьте честность xc
4. Проверьте выполнение неравенства уc?уo?уа. Если оно не объективно, то точка не лежит внутри треугольника. В отвратном случае обнаружьте ординату прямой, содержащей АB. у1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Также поступите с ординатой прямой для BC. у2=у(хо)=[(yс-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Составьте неравенство y2?yo?y1. Его выполнение разрешает сделать завершение о том, что заданная точка находится внутри треугольника. Если же это неравенство ложно, то она лежит вне его пределов, в частности в соответствии с рисунком.
