Как форма кристалла влияет на вязкость суспензии. Течение и вязкость структурированных золей и суспензий. Что будем делать с полученным материалом

Контроль суспензии

К атегория:

Производство точных отливок

Контроль суспензии

Изменение качества керамических форм (их прочности, газопроницаемости или теплового расширения) сигнализирует обычно о нарушениях технологического процесса. Поэтому необходимо хорошо знать влияние факторов, которые приводят к нарушению четкости технологии, особенно при массовом выпуске продукции.

Поскольку в ЧССР для производства оболочковых форм используют главным образом пылевидный кварц, кварцевый песок

И ЗТиЛсиЛиКаТ, то контроль суспензии направлен на исследование свойств этих исходных материалов.

На прочность керамических форм влияют следующие параметры:
– форма и величина зерен огнеупорного порошка в суспензии и обсыпочного материала;
– концентрация условной двуокиси кремния в суспензии;
– количество связующего в суспензии;
– технология нанесения слоев и их сушка.

Данные о влиянии величины зерен пылевидных огнеупоров на свойства керамических форм рассмотрены очень подробно в технической литературе. При этом указывается, что правильный интервал зернистости пылевидного огнеупора относится к главным факторам, определяющим его прочность, и что на прочность керамических форм влияет не только величина, но и форма частиц.

Обычно считается, что при крупнодисперсном пылевидном ог-неупоре керамические формы имеют меньшую прочность при изгибе, чем при мелкодисперсном. С уменьшением величины зерна и с увеличением его удельной поверхности растет прочность керамических форм, но до определенной величины, а затем опять снижается. Это доказывают результаты исследований, проведенных на заводе ZPS г. Готвальдов.

При постоянных рабочих условиях (постоянной вязкости суспензии, зернистости обсыпочного материала, концентрации условной двуокиси кремния в связующем, при постоянной технологии нанесения слоев, сушке и прокаливании керамических форм) испытывали на прочность при изгибе керамические формы, изготовленные из пылевидного кварца с различным распределением зернистости и с различной удельной поверхностью. Из результатов видно, что максимальная прочность керамических форм достигается при удельной поверхности от 5000 до 8000 см2/г.

Пылевидный кварц изготовляют путем размола кварцевого-песка. При размоле происходит постепенное измельчение зерен песка (в результате их раскалывания и истирания). При длительном размалывании частицы становятся очень мелкими, даже почти коллоидными.

В зависимости от способа и времени размола образуется различное количество коллоидных частиц. Такие частицы имеют очень большую поверхность, которая обладает так называемой механической активацией. Так как способы размалывания поставляемого пылевидного кварца различны (мокрые или сухие), то количество коллоидных частиц будет разным. Влияние коллоидных частиц пылевидного кварца на прочность керамических форм при изгибе было исследовано на опытных образцах. Наносили слои из смеси пылевидного кварца известной зернистости и пыли с высоким содержанием коллоидного кварца. Связующим был гидролизованный раствор этилсиликата с содержанием 115 г/л условной двуокиси кремния.

Опытные образцы изготовляли в постоянных условиях (нанесение слоев, сушка и прокаливание). Пыль представляла собой почти коллоидный кремнезем - отход при производстве кристаллического кремнезема с величиной частиц до 1 мкм.

Результаты исследований показали, что с увеличением доли коллоидного кремнезема в суспензии до 5% прочность оболочек на изгиб снижается медленно, затем быстрее, а при 15% образцы практически не имели прочности.

Согласно литературным данным прочность на изгиб очень мало зависит от обсыпочного материала с малым разбросом зернистости. Но если разброс зернистости достаточно велик, то влияние на прочность больше. Отмечается также, что на прочность керамических форм влияет и форма зерен.

Практический опыт показал, что зернистость кварцевого песка для обсыпки в пределах 0,06-0,5 мм не влияет на прочность оболочковой формы в тех случаях, когда величина зерна более или менее постоянна. С увеличением в песке очень мелких частиц прочность формы повышается.

Соотношение между качеством суспензии и величиной зерна обсыпочного материала определяется вязкостью суспензии. Керамическая форма из суспензии с максимальной вязкостью, обсыпанная мелким песком, будет иметь максимальное содержание суспензии по сравнению с формой, изготовленной из суспензии с низкой вязкостью, но обсыпанной крупным песком.

Суспензия для этих образцов имела вязкость 40 ± 2 с (при 24 °С) по воронке Форда (диаметр отверстия 6 мм). При очень густой суспензии (65-70 с), т. е. при высоком соотношении суспензии к массе обсыпочного материала, образуется форма с низкой прочностью. Это, вероятно, можно объяснить тем, что при гелеобразо-вании суспензии, в которой относительно мало песка, происходит ее растрескивание. Сетка трещин является причиной снижения прочности керамических форм. Прочность на изгиб керамических форм, изготовленных обсыпкой кварцевым песком с величиной зерна 0,2-0,4 мм с увеличивающейся вязкостью обмазки, приведена в табл. 79.

Обсыпочный мелкий кварцевый песок также влияет на прочность керамических форм при изгибе. Для густой суспензии не пригоден мелкий обсыпочный песок, так как на слоях керамической формы такой песок плохо держится и не обеспечивает хорошую связь отдельных слоев. Керамические формы из таких слоев имеют невысокую прочность. Вязкость суспензии составляла 70 ± 2 с по воронке Форда диаметром 6 мм.

Существенное влияние на прочность при изгибе керамических форм оказывает концентрация условной двуокиси кремния в связующем. В работе указывается, что прочность силли-манитовых керамических форм повышается с увеличением в гидро-лизованном растворе этилсиликата содержания условной двуокиси

кремния. Это же относится и к керамическим формам из кремнеземистых материалов.

Вязкость суспензии при всех концентрациях условной Si02 одинакова и составляет 30 ± 2 с при 22-24 °С.

Зернистость обсыпочного песка была в пределах 0,1-0,3 мм (испытания проводили на заводе ZPS г. Готвальдов).

На газопроницаемость керамических форм влияют следующие факторы: величина и форма зерна пылевидного огнеупора и обсыпочного материала; концентрация и тип жидкого связующего; температура и время прокаливания керамических форм.

Газопроницаемость снижается с повышением дисперсности пылевидного огнеупора (это относится к пылевидным огнеупорам вообще). Подтверждением этого являются результаты испытаний корундовых форм, изготовленных из суспензии, твердой фазой которой являлся искусственный пылевидный корунд различной зернистости. Концентрация условной SiO, в связующем составляла 20% (ZPS г. Готвальдов). Вязкость суспензии при 20-24° С была 18-20 с (по воронке Форда). Для экспериментов использовали огнеупорный порошок корунда В К 280-320 и М32. В качестве обсыпочного материала применяли корундовый песок ВК 36.

Критерием газопроницаемости являлась пропитываемость прокаленных керамических форм по CSN 726010. Результаты измерений представлены в табл. 83. Величины пропитываемости не отражают газопроницаемость, определенную соответствующим измерением объема воздуха, проходящего через материал в единицу времени под постоянным давлением. Пропитываемость характеризует только открытые поры (связанные с поверхностью), в которые может проникнуть жидкость. По величинам пропитываемости можно судить лишь о качественном изменении газопроницаемости.

Влияние зернистости обсыпочного материала на газопроницаемость керамической формы из молохита описано в работе. Согласно сообщениям авторов этой работы газопроницаемость керамических форм увеличивается с увеличением величины зерна обсыпочного материала только до определенной величины, а затем с увеличением крупности зерна снова снижается, особенно при суспензиях с высокой вязкостью.

Снижение газопроницаемости керамических форм с грубым обсыпочным материалом объясняется тем, что между его частицами имеются свободные пространства, в которые при повторном погружении легко проникла суспензия. Особенно это проявляется в тех случаях, когда суспензия очень вязкая, не вытекает из зазоров и они полностью ею заполняются. Аналогичные испытания были проведены на ZPS г. Готвальдов и с кварцевыми керамическими формами. Вязкость суспензии с пылевидным кварцем составляла 30 ± 2 с при 22-24° С по воронке Форда.

О влиянии качества связующего на газопроницаемость керамических форм сообщается в работе. Газопроницаемость керамических форм из суспензии на гидрозолях меньше, чем газопроницаемость форм, изготовленных на этилсиликатных связующих с органическими растворителями.

Испытания с гидрозолем Si02 на заводе ZPS г. Готвальдов показали, что пористость керамических форм, определяемая пропи-тываемостью, значительно выше, чем пористость керамических форм из алкозолей. Из этого следует, что газопроницаемость форм с гидрозольными связующими должна быть не ниже газопроницаемости формы с этилсиликатными связующими. Такая несогласованность с литературными данными может быть объяснена различным характером связующей пленки. Связующим при этих испытаниях был Ludox SM40 с очень мелкой коллоидной дисперсией Si02 (мельче, чем имеет связующее Syton 2). Наполнитель суспензии - пылевидный кварц, обсыпочный материал - кварцевый песок. По данным работы, огнеупорным материалом был молохит.

Исследования показали, что газопроницаемость, определенная по пропитываемости, повышается, если смешиваются два огнеупорных материала с различной формой зерна, причем прочность на изгиб керамических форм не снижается. Пропитываемость керамических форм, изготовленных из смеси пылевидного кварца и молотого корунда зернистостью 280/380 с алкогольным связующим, содержащим 118 r/л условной двуокиси кремния, после прокаливания была более высокая.

Повышение газопроницаемости керамических форм подтвердилось и при практическом испытании на отливках.

Рис. 1. Сверла для дерева, отлитые в формах из кварца рундом

При повышении температуры и длительности прокаливания прочность керамических форм повышается. Газопроницаемость повышается только в том случае, если в суспензии нет веществ, снижающих температуру плавления огнеупорных материалов. В противном случае происходит снижение газопроницаемости керамических форм.

В исследованиях, проведенных на заводе ZPS г. Готвальдов, изучали влияние технологии на важнейшие свойства, такие, как прочность на изгиб и газопроницаемость. При обычном изготовлении керамических форм для первых слоев использовали более жидкую суспензию, а для последующих более густую. Для жидкой суспензии применяли мелкий обсыпочной материал, для густой - крупный.

Керамические формы можно изготовить также погружением блока сначала в жидкую, а после стекания избытка - в густую суспензию. Цель испытаний - проверить, влияет ли существенно такая технология на прочность и газопроницаемость керамических форм.

Из суспензии, состоящей из пылевидного кварца и гидролизо-ванного раствора этилсиликата с концентрацией 115 г/л условной двуокиси кремния и кварцевого песка в качестве обычного материала, изготовляли опытные образцы четырьмя различными способами при нанесении слоев:
1) первый слой - жидкая суспензия, обсыпка мелким песком. Остальные слои - густая суспензия, обсыпка крупным песком;
2) первый слой - жидкая суспензия, обсыпка мелким песком. Второй слой - густая суспензия, обсыпка крупным песком. Остальные слои - так же, как первый слой;
3) первый слой - густая суспензия, обсыпка [крупным песком. Остальные слои-жидкая суспензия, обсыпка очень мелким песком;
4) все опытные образцы сначала погружали в жидкую суспензию, а после стекания ее избытка - в более густую; обсыпка крупным песком. Вязкость суспензии определяли по вороке Форда с отверстием диаметром 6 мм при 21-23° С.

В другой серии экспериментов проверяли влияние выдержки модельного блока в суспензии и времени стекания ее избытка перед обсыпкой на те же свойства керамических форм. Из данных табл. 87 следует, что изменения в технологии не влияют существенно на свойства керамических форм.

Исследовали также влияние вязкости суспензии при постоянных условиях на газопроницаемость керамических форм при различных температурах (табл. 88). Из этих данных видно, что с повышением вязкости суспензии газопроницаемость оболочки существенно снижается при всех вариантах сушки форм. Толщина керамических оболочек была постоянной, равной 4,5 мм (±5%).

Газопроницаемость оценивали по прохождению количества газов (в см3) через 1 см2 поверхности керамической формы за 1 мин.

Другими технологическими факторами, которые влияют на основные свойства керамических форм, являются сушка слоев, продолжительность и температура прокаливания. Прочность керамических форм с наполнителем-пылевидным кварцем при сушке на воздухе составляет 3,1-3,3 МПа; после отверждения аммиаком - только 1,48-1,56 МПа. В качестве связующего использовали гидролизованный раствор этилсиликата с разбавителем - спиртом.

У керамических форм, изготовленных из суспензии с гидрозолем кремнезема, также происходит изменение прочности, если их отверждают химическим способом вместо спокойной сушки на воздухе. В табл. 89, по данным английской литературы , даны для сравнения свойства керамических форм из молохита и гидрозоля (SYNTON 2х) с 30% Si02, высушенных на воздухе и отвержденных химическим способом. Наибольшую прочность имели керамические формы с гидрозолем Si02, которые высушивались спокойно на воздухе.

Контроль суспензии ограничивается измерением вязкости. В большинстве стран вязкость суспензии определяют по времени истечения суспензии из воронки Форда типа В или из вискозиметра Zahn . Только в исключительных случаях (согласно литературным данным) измеряется динамическая вязкость

в сантипуазах на вращающемся вискозиметре Брукфильда.

В ЧССР используют воронку Форда. Форма и размеры такой воронки и способ измерения в ЧССР , как и в некоторых других странах, нормализованы.

Рис. 2. Схема усовершенствованного вискозиметра Zahn

Замеренные величины вязкости должны быть всегда дополнены данными о величине отверстия воронки и температуры при определении вязкости.

В Англии диаметр отверстия воронки обозначается цифрой, которая ставится у буквенного обозначения типа воронки Форда - воронки В2, В3, В4, Въ.

Вискозиметр Zahn имеет сменные втулки с пятью различными диаметрами. При определении вязкости по воронке Форда за конец измерения принимают момент, когда струя суспензии прерывается, переходя в отдельные капли; при измерении вязкости вискозиметром Zahn окончанием измерения считают момент времени, когда на снижающемся уровне суспензии показывается острие стержня, установленного на дне воронки.

Важным фактором при измерении времени истечения суспензии является температура, так как с ее изменением изменяется и время истечения. Согласно данным работы время истечения значительно сокращается при повышении температуры. Так, если время истечения суспензии из воронки Форда В4 при 26° С составляет 130 с, то вязкость снижается при повышении температуры до 36° С до 96 с.

Время истечения суспензии имеет, естественно, объективное значение только при условии, что состав связующего и зернистость пылевидного огнеупора не изменяются. В противном случае суспензия при одинаковом времени истечения будет иметь различные соотношения между пылевидным огнеупором и связующим и изготовленные керамические формы будут иметь различные свойства. Поэтому данные о вязкости суспензии должны всегда сопровождаться сведениями о концентрации условной Si02 в связующем, а также о составе и зернистости пылевидного огнеупора или о его величине удельной поверхности.

С увеличением концентрации условной Si02 в жидком связующем и величины поверхности пылевидного огнеупора при постоянном отношении связующего и пылевидного огнеупора время истечения суспензии будет увеличиваться.

Из анализа всех этих условий, влияющих на вязкость суспензии, следует, что вязкость не может быть определяющим фактором для оценки качества керамической формы. Поэтому изыскивают методики, которые позволили бы найти зависимость качества керамических форм от их прочности и газопроницаемости.

Контроль исходных материалов для приготовления суспензий. В предыдущей главе был рассмотрен ряд факторов, которые оказывают влияние на качество керамических форм. Установлено, что качество керамических форм зависит прежде всего от стандартного качества используемых исходных материалов. Значит, одним из важнейших этапов входного контроля является контроль всех исходных материалов. Поэтому исследователи всех стран стремятся создать производственные способы испытания исходных материалов для осуществления быстрого и точного контроля производства керамических форм.

Контроль пылевидного кварца состоит в определении влажности, количества примесей, щелочности и зернистости. Наибольшая допускаемая влажность 1% (если она выше, необходимо пылевидный кварц сушить). Содержание примесей в пылевидном кварце должно быть минимальным; согласно данным работы молотый p-кварц, используемый в США , состоит из 99,8% Si02 и примесей: 0,11% А1203, 0,033% Fe203, 0,022% ТЮ2 и СаО и MgO (следы). Кварцевые порошки, используемые в ЧССР , не отличаются такой чистотой. Содержание в них А1203 и Fe203 бывает выше. Так как эвтектика с низкой температурой плавления в системе Si02-А1203 образуется при 5% А1203, то при нагреве кварца до 1300° С практически не образуется соединений с низкой температурой плавления, а только твердые растворы ; это не влияет на огнеупорность и на газопроницаемость керамических форм, содержащих 0,25-0,30% А1203 или Fe203. Но это может сказаться на хрупкости керамических форм, так как Fe203 при температуре 575-900° С диффундирует в кристаллическую решетку Si02. Содержание окислов кальция и магния в пылевидном кварце ЧССР бывает больше указанного.

Совершенно не допускается содержание элементарного железа которое окисляется в кислой среде жидкого связующего и сдвигает рН до неустойчивой области, чем вызывает преждевременное гелеобразование связующего. Живучесть суспензии при этом сокращается. При прокаливании керамических форм железо окисляется, а его соединения с кислородом (FeO, Fe203) образуют с Si02 соединения с низкой температурой плавления. Это сопровождается появлением дефектов на поверхности отливок.

Количество щелочных примесей в наполнителе должно быть минимальным. Высокая щелочность сокращает живучесть суспензии. Щелочность можно снизить повышением содержания кислоты в суспензии по эквиваленту, соответствующему количеству, потребному для связывания ионов Са++ или других веществ, повышающих концентрацию ионов ОН”.

Опыт показал, что щелочность, вызываемая СаО при его содержании до 0,035%, не уменьшает живучесть суспензии. Щелочность определяют кипячением навески пылевидного кварца в определенном количестве кислоты децинормальной концентрации. Неизрасходованную кислоту оттитровывают децинормальным раствором едкого натра. Кислоту, израсходованную для нейтрализации растворенных щелочей, пересчитывают на содержание СаО (в %).

По CSN 721531 зернистость пылевидного огнеупора определяют просеиванием на ситах по CSN 721263; мельчайшие частички (до 0,06 мм) определяются седиментационными испытаниями по Andreasen или Casagrand (CSN 721127). Эти способы простые, но требуется длительное время испытания для того, чтобы получить правильные и воспроизводимые результаты.

Долю мелких частиц можно определить и другими способами. Имеются сообщения о проведении ситового анализа и очень мелких огнеупорных порошков - до величины зерна около 2 мкм; при этом применяют металлические плетеные сетки. Ситовой анализ проводят мокрым способом и результаты сравнивают с результатами других способов.

Наиболее простым является способ определения с помощью седиментационных весов; на них определяют количество частиц, осадившихся за определенное время. Специальные фирмы изготовляют седиментационные весы с автоматическим регистрированием результатов взвешивания, как, например, седиментационные весы фирмы Sartorius-Werke G. М. В. Н. (Геттинген, ФРГ ).

Долю мелких частиц в пылевидном огнеупоре можно определить и турбидиметрическим способом, основанным на измерении интенсивности света при прохождении его через дисперсионную среду с частицами пылевидного огнеупора. Анализ проводится при помощи фотоэлектрического турбидиметра Вагнера. Преимущество турбидиметрического способа по сравнению с остальными седиментационными способами состоит в существенном сокращении времени анализа.

Для получения точных кривых распределения величины зерна и крупных частиц рекомендуется комбинировать турбидиметри-ческий способ с седиментационным взвешиванием. Седиментационные методы обычно не позволяют точно определять частицы менее 2 мкм. Седиментация таких мелких частиц длится долгое время, и определенные величины не точны вследствие броуновского движения молекул.

Величину зерна можно определять и при помощи вычислительных машин, например прибором Coulter-Counter. К суспензии анализируемого порошка добавляют электролит (NaCl), чтобы она была электропроводна, и измеряют сопротивление между двумя сосудами, разделенными капиллярной стенкой. По этому капилляру проходит суспензия. При проходе каждой частицы увеличивается сопротивление, изменение которого регистрирует электронный прибор. Максимальное увеличение сопротивления характеризует величину зерна. Если известна величина зерна, то можно определить величину удельной поверхности, и наоборот.

Наиболее часто для измерения удельной поверхности частиц применяют способы, основанные на адсорбции мономолекулярных слоев. Самым обычным является определение удельной поверхности частицы адсорбцией азота в соответствующих устройствах.

Способ BET используют только для частиц с относительно большой удельной поверхностью. Для кремнезема, например, такой поверхностью обладают частицы размером менее 20 мкм.

Кроме ранее приведенных приборов для измерения величины зерна иностранные фирмы предлагают много различных приборов. Некоторые из них работают в автоматическом режиме, такие, как гранулометр TURZ62 производства VEB Transformatoren und Rontgenwerke (Дрезден, ГДР ); седиграф - модель 5000 производства Micromeritics Corp. (США ); фотоседиментометр производства Microscal Ltd. (Лондон, Англия); турбидиметр производства Evans Electro Scienium Ltd. (США ); автоматический анализатор величины зерна SF 82, ASTMD -422 производства Matodo Testing Machine Co. (Токио, Япония).

Чтобы контроль зернистости пылевидного кварца был целесообразным, требуется знать допускаемые отклонения в величинах зерен. По опыту ZPS г. Готвальдов оказалось наивыгоднейшим следующее распределение величины зерна в пылевидном кварцевом порошке:

Контроль этилсиликата и спирта. Обычно контроль этилсиликата 40 ограничивают определением плотности пикнометром, которая характеризует содержание условной двуокиси кремния,и определением концентрации соляной кислоты методом титрования. Рекомендуется также определять содержание фракции с температурой кипения до 110 °С и содержание низкомолекулярных веществ.

Для этилсиликата 40 производства ГДР (завода VEB Chemie-Werk Niinch-ritz) по стандарту TGL 21405 характерны следующие величины: плотность при 20° С 1,04-1,06 г/л, температура воспламенения 60° С, содержание Si02 38-42%, НС1 не более 0,1%, низкомолекулярных веществ не бол ее 15%. Это чистая несмешиваемая с водой и смешиваемая со спиртом в любом соотношении жидкость, смесь этокси-полисилоксанов (преимущественно додекаэтоксиполисилоксанов).

По данным завода ZPS г. Готвальдов в этилсиликате 40 может быть до 8% фракции с температурой кипения до 110 °С.

Изготовители рекомендуют оценивать пригодность этилсиликата для приготовления связующего определением времени геле-образования. Этот параметр определяют следующим образом. В пробирке смешивают последовательно 10 мл пробы этилсиликата с 2 мл этилового спирта и 4 мл концентрированной соляной кислоты. Раствор в пробирке тщательно перемешивают, чтобы он стал гомогенным, и затем пробирку с раствором устанавливают в термостат, где выдерживают при 20 ± 0,5° С. Начало гелеобра-зования определяют по моменту очень медленного течения раствора при наклоне пробирки. Время гелеобразования - это промежуток от начала испытания до полного гелеобразования (прекращение движения раствора при наклоне пробирки).

В безводном этиловом спирте (CSN 660835), денатурированным добавкой 2% технического бензина, определяют содержание спирта спиртометром. При производственных испытаниях рекомендуется определять пригодность спирта для приготовления связующего следующим образом: 200 мл этилсиликата разбавляют 100 мл’ испытываемого этилсиликата спирта, добавляют 20 мл воды и 1 мл концентрированной соляной кислоты. Всю смесь хорошо перемешивают интенсивным встряхиванием колбы, в которой находится жидкость. Если температура раствора начинает значительно повышаться (40-45° С), то это свидетельствует о прохождении гидролиза. Одновременно аналогично определяют пригодность этилсиликата для приготовления связующего.

Все испытания исходных материалов подробно описаны в специальной литературе.

Рис. 4. Оптимальный гранулометрический состав пылевидного кварца

*r - плотность эмульсии; плотность жира сливок 0.8887 г/см 3

503. В таблице ниже приведены результаты исследования вязкости суспензий стеклянных шариков (средний диаметр 65 мкм) в водном растворе йодида цинка (состав, который предотвращал седиментацию шариков в процессе измерений):

Постройте по этим данным график зависимости приведённой вязкости от объёмной доли латекса и определить характеристическую вязкость [ при f ® 0]. Равна ли она теоретическому коэффициенту уравнения Эйнштейна для суспензий?

505. Рассчитайте молярную массу поливинилового спирта по данным вискозиметрического метода: характеристическая вязкость 0.15 м 3 /кг, кон­станты уравнения Марка–Хаувинка K MH = 4.53 ×10 –5 л/г и a = 0.74.

506. Рассчитайте молярную массу этилцеллюлозы в анилине, используя экспериментальные данные вискозиметрического метода (константы: K MH = 6.9 ×10 –5 л/г, a = 0.72):

507. Для нескольких фракций нитрата целлюлозы в ацетоне проведены измерения вязкости при 25 °С и вычислены характеристические вязкости:

Вычислить коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка для этой системы.

508. В таблице ниже приведены результаты вискозиметрических измерений растворов поли(g-бензил-L-глутамата) в диметилформамиде. Определить по ним ко-эффициенты уравнения Марка-Хаувинка.

509. В таблице ниже приведены результаты вискозиметрических измерений растворов нескольких фракций полистирола в метилэтилкетоне при 22 °С:

Найдите коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка для данной системы.

510. Для нескольких препаратов поликапролактама установлены молярные массы и определены характеристические вязкости их растворов в м-крезоле при 25 °С:

Найдите по этим данным коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка для системы поликапролактам/м-крезол.

511. Вычислить молярную массу поливинилацетата в ацетоне, поль­зуясь данными вискозиметрического метода (константы уравнения Марка – Хаувинка K MH = 4.2 ×10 –5 л/г, a = 0.68):

512. Определить характеристическую вязкость и коэффициент Хаггинса для поли(g-бензил-L-глутамата) в хлороформе по следующим данным:

513. Определить коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка для поли изобутилена в циклогексане при 30 °С по следующим данным:

514. Растворы нескольких образцов поли пропиолактона в трифторэтаноле (ТФЭ) изучены вискозиметрически при 25 °С и была получена следующая зависимость характеристической вязкости от молярной массы:

515.

*r - плотность эмульсии; плотность жира сливок 0.8887 г/см 3)

Постройте по этим данным график зависимости приведённой вязкости от объёмной доли жира и определить характеристическую вязкость [ при f ® 0]. Равна ли она теоретическому коэффициенту уравнения Эйнштейна для суспензий?

516. Растворы нескольких образцов полипропиолактона в хлороформе (трихлорметан, СHСl 3) были изучены вискозиметрически при 30 °С и была получена следующая зависимость характеристической вязкости от молярной массы:

Вычислить коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка.

517. Установлено, что при 20 °С связь между характеристической вязкостью раствора полиизобутилена и его молярной массой M описывается формулой [h] (л/г) = 3.60×10 –4 ×М 0.64 . Определить молярную массу фракции полиизобутиле­на в растворе, характеристическая вязкость которого равна 1.80 м 3 /кг.

518. Измерения характеристической вязкости растворов нескольких фракций полиизобутилена с известными молярными массами в диизобутилене привели к следующим результатам:

Вычислить коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка.

519. Рассчитайте молярную массу полистирола по характеристической вязкости его раствора 0.105 л/г. Растворитель – толуол; константы уравнения Марка– Хаувинка для данных условий: K MH = 1.7 ×10 –5 л/г, a = 0.69.

520. Вычислить молярную массу поливинилацетата в бензоле, если характеристическая вязкость его раствора равна 0.225 л/г, константы уравнения Марка–Хаувинка K MH = 5.7 ×10 –5 л/г и a = 0.70.

522. Определить молярную массу поливинилацетата в хлороформе, ис­пользуя следующие данные: [h] = 0.340 л/г, константы уравнения Марка–Хаувинка K MH = 6.5 ×10 –5 л/г и a = 0.71.

521. В таблице ниже приведены результаты измерений вязкости смесей сливок со снятым (обезжиренным) молоком и дистиллированной водой как функция концентрации жира при 64 °С

*r - плотность эмульсии, плотность жира сливок 0.8887 г/см 3)

Постройте по этим данным график зависимости приведённой вязкости от объёмной доли жира и определить характеристическую вязкость [ при f ® 0]. Равна ли она теоретическому коэффициенту уравнения Эйнштейна для суспензий?

523. Определить молярную массу нитроцеллюлозы, если характеристи­ческая вязкость её раствора в ацетоне составляет 0.204 м 3 /кг, константы уравнения Марка–Хаувинка K MH = 0.89 ×10 –5 л/г и a = 0.9.

524. Для растворов нескольких образцов полипропиолактона в бутилхлориде получена следующая зависимость характеристической вязкости от молярной массы при 13 °С:

Вычислить коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка.

525. Определить молярную массу этилцеллюлозы в толуоле, используя данные вискозиметрического метода (константы: K MH = 11.8 ×10 –5 л/г, a = 0.666):

526. При 25 °С была определена характеристическая вязкость растворов в тетрагидрофуране нескольких фракций полистирола с известными молярными массами:

Вычислить коэффициенты уравнения Марка-Хаувинка.

Приложение 1. Единицы измерения физических величин

Физическая величина – это произведение численного значения (числа) и единицы измерения. В СИ (официальное название : Le Système International d"Unités ) определены семь основных единиц измерения и две дополнительные (таблица 1.1). Все остальные физические величины выводятся из основных с помощью умножения или деления в соответствии с физическими законами (формулами). Например, линейная скорость движения определяется уравнением v = dl/dt . Она имеет размерность (длина/время) и единицу измерения СИ (производную от основных единиц СИ) м/с. Некоторые из производных единиц имеют собственные наименования и обозначения (таблица 1.2).

Для удобного обращения с большими или малыми численными значениями, в СИ применяются стандартные десятичные приставки, определяющие кратные и дольные десятичные производные. (Наиболее употребимые из них перечислены в табл. 1.3). Например, 1 нанометр (обозначается 1 нм) означает 10 –9 долю метра, то есть 1 нм = 10 –9 м. 1 миллипаскаль (1 мПа) означает 10 –3 паскаля. Основная единица массы “килограмм” уже имеет приставку кило-. В этом случае любые другие десятичные производные образуются от десятичной производной “грамм”. Например, 1 миллиграмм, 1 мг, означает 10 –3 г или 10 –6 кг. (Грамм является основной единицей массы в СГС и десятичной дольной единицей СИ). Если над единицей измерения с десятичной приставкой производится математическое действие, например возведение в степень, то действие относится ко всему обозначению. Например, 1 дм 3 означает 1 (дм) 3 , но не 1 д(м) 3 .

Таблица 1.1 Основные и дополнительные единицы СИ

* определение СИ: "Моль – это количество вещества, в котором содержится столько названных единиц, сколько содержится атомов в 0.012 кг изотопа 12 С. " Можно сказать иначе, моль – это количество вещества, в котором содержится N A (число Авогадро) единиц вещества, которые должны быть ясно указаны. Например, в качестве единиц вещества могут рассматриваться формульные единицы AlCl 3 , 1/3AlCl 3 , ионы, электроны, мицеллы, частицы лиофобного золя, аэрозоля, эмульсии и т.д.

Табл. 1.2 Некоторые производные единицы СИ, имеющие собственные наименования

Таблица 1.3 Некоторые десятичные (дольные и кратные) приставки к единицам СИ

Согласно грамматическим правилам СИ, обозначение десятичной приставки и обозначение исходной единицы пишутся слитно и не сопровождаются точкой как указанием на сокращение наименования, однако знак пунктуации должен стоять, если этого требуют грамматические правила текста, в котором обозначение встречается. Например, если обозначение сантиметра, см, стоит в конце предложения, то точка должна стоять как обычно, см.

Произведение двух разных единиц может быть записано тремя следующими способами (на примере вязкости): Па×с, Па·с, Па с (с пробелом между множителями). Отношение двух единиц может быть записано либо через дробь (например, Н/м), либо как произведение тремя способами: Н×м –1 , Н·м –1 и Н м –1 . Отношение трёх и более единиц измерения должно записываться в соответствии с обычными правилами математики (не допускается применение трёхэтажных дробей, знаменатель должен быть ясно определён, при необходимости с применением скобок).

СИ является рекомендуемой и наиболее удобной системой единиц в теоре­тических вычислениях и в коммуникациях (передаче информации) в области точных наук. Однако во многих частных случаях удобным оказывается использование других единиц измерения. Например, при экспериментальных исследованиях с использованием высоких давлений удобно применять единицу измерения “бар”, а при использовании вакуума – “миллиметр ртутного столба” (аналогично тому, как при исчислении возраста человека используются не секунды или гигасекунды, а годы, тогда как для аналогичных целей в социальной истории применяются столетия). По определениям СИ, некоторые из таких единиц допускаются для “временного” применения, и применяются фактически (см. таблицу 1.4). Многие единицы из прошлой практики не рекомендованы к применению и, фактически, почти не применяются в современных измерениях, однако их так же полезно знать, так как многие источники информации (энциклопедии, справочники, другие публикации) используют их. Например, в большинстве справочных изданий по физической химии вязкость жидкостей указывается в сантипуазах, а не в единицах СИ Па·с. Важнейшие из таких единиц перечислены в табл. 1.5.

Табл. 1.4 Единицы измерения не входящие в СИ, но используемые наряду с единицам СИ

Табл. 1.5 Некоторые единицы измерения, применявшиеся в физической химии в прошлой практике, и не входящие в СИ

Для перевода физических величин из одних единиц измерения в другие следует помнить определение : физическая величина – это произведение числа и единицы измерения. Рекомендуется понимать это определение буквально и обращаться с физическими величинами по обычным правилам математики. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Вычислить, сколько метров содержится в 2 мкм (микрометр).

Представим длину l = 2 мкм как l = 2×мкм (хотя такая запись не принята). Обратившись к табл. 1.3 узнаем, что приставка "мк" означается микро-, множитель 10 –6 . Поэтому запишем l = 2×мкм = 2×(10 –6 ×м) = 2×10 –6 ×м. Таким образом, 2 мкм = 2×10 –6 м (в двух микрометрах содержится 2×10 –6 м).

Пример 2. Вычислить, сколько м 3 содержится в 2 дм 3 .

Представим объём V = 2 дм 3 как V = 2×дм 3 . Cогласно табл. 1.3, приставка "д" означает "деци-", множитель 10 –1 . Поэтому можно записать 2×дм 3 = 2×(10 –1 ×м) 3 = 2×10 –3 ×м 3 = 0.002×м 3 . То есть, 2 дм 3 = 0.002 м 3 (в 2 дм 3 содержится 0.002 м 3).

Пример 3. Дана концентрация 2 г/л. Выразить её в кг/м 3 .

Из табл. 1.3 узнаем, что пристака "кило-" единицы измерения массы "килограмм" означает множитель 10 3 , то есть 1 кг = 10 3 г или 1×кг = 10 3 ×г. Решая последнее уравнение относительно "г", получим 1×г = 10 –3 ×кг. С другой стороны, из табл. 1.4 следует, что 1 л = 10 –3 м 3 . Поэтому можно сделать следующие преобразования:

2 г/л = = =

Таким образом, 2 г/л = 2 кг/м 3 .

Пример 4. Выразить давление р = 2 кПа в атмосферах.

Из табл. 1.5 следует, что 1 атм = 101325 Па, а из табл. 1.3 – что приставка "к" (кило-) означает множитель 10 3 . Таким образом, р = 2×кПа = 2×10 3 ×Па, то есть р = 2×10 3 Па. Разделив обе части уравнения (1×атм = 101325×Па) на 101325, найдем 1×Па = 9.8692×10 –6 ×атм. Подставим эту величину в уравнение для р :

р = 2×10 3 ×Па = 2×10 3 ×(1×Па) = 2×10 3 ×(9.8692×10 –6 ×атм) = 1.9738×10 –2 атм.

Смеси, состоящие из одного вещества в виде малых твердых, жидких или газообразных частиц, рассеянных беспорядочно в другом жидком веществе, весьма часто встречаются в природе и в промышленности. Термин «суспензия» обычно относится к системе малых твердых частиц в жидкости, хотя с динамической точки зрения природа обеих сред не имеет особого значения, и мы будем использовать этот термин также для системы твердых частиц в газе, системы капель одной жидкости, рассеянных либо в другой жидкости (эмульсии), либо в газе, и системы пузырьков газа в жидкости. Интересно выяснить, как будут вести себя такие суспензии при движении границ и приложении сил. Если характерная длина масштаба движения суспензии велика по сравнению со средним расстоянием между частицами, а мы будем предполагать, что дело обстоит именно так, то суспензию можно рассматривать как однородную жидкость с механическими свойствами,

отличающимися от свойств окружающей ее жидкости, в которой эти частицы взвешены. Хаотическое распределение сферических частиц не имеет какого-либо свойства, зависящего от направления движения в среде (частицы в форме длинных стержней могут создать такие свойства вследствие их тенденции располагаться в определенном направлении относительно локального распределения скорости, хотя броуновское движение взвешенных частиц стремится исключить любое такое преимущественное направление). Поэтому если окружающая среда «ньютонова» однородная жидкость, то эквивалентная суспензия приближенно сферических частиц также является ньютоновой и характеризуется вязкостью сдвига (и, возможно, также объемной вязкостью).

В этом параграфе мы определим эффективную вязкость несжимаемой жидкости, содержащей взвешенные частицы столь малых линейных размеров, что а) влияние сил тяжести и инерции на движение частицы не учитывается (поэтому частица локально движется вместе с окружающей ее жидкостью) и б) число Рейнольдса возмущенного движения, возникающего вследствие наличия одной частицы, мало по сравнению с единицей. Будем считать ради простоты, что частицы имеют сферическую форму; в случае жидких или газообразных частиц малого радиуса поверхностное натяжение стремится сохранить частицы сферическими, несмотря на деформирующее влияние движения жидкости, поэтому предположение о форме нужно только для твердых частиц. Наконец, будем предполагать, что суспензии являются разбавленными настолько, что среднее расстояние между частицами велико по сравнению с их линейными размерами.

При этих условиях основное движение окружающей жидкости, на которое налагается возмущенное течение, создаваемое наличием в ней одной частицы, можно считать состоящим из однородных поступательного, вращательного и чисто деформационного движений. Частица движется поступательно и вращается вместе с окружающей ее жидкостью, так что возмущение связано лишь с чисто деформационным движением (сдвигом). Возмущение деформационного движения, возникающее из-за частицы, по-видимому, неизбежно сопровождается увеличением полной скорости диссипации, и эффективная вязкость суспензии (сдвига или объемная) должна быть больше, чем вязкость окружающей ее жидкости; в дальнейшем мы убедимся, что это именно так.

Для начала предположим, что частицы несжимаемы, поэтому суспензия также ведет себя как несжимаемая среда, и нужно определить только эффективное значение коэффициента вязкости сдвига. Для этого необходимо явное представление возмущенного течения, создаваемого одной несжимаемой частицей, и поэтому мы рассмотрим соответствующую задачу течения с пренебрежимо малыми силами инерции.

АННОТАЦИЯ

Изучены реологические свойства (плотность и вязкость) карбонатсодержащих суспензий, образующихся в процессе конверсии нитрата кальция карбонатом аммония, при соотношених циркулирующий раствор (ЦР) : СаСО 3 – 3: 1 ÷ 8: 1, температуре - 20-60°С и N а: N н (соотношение аммиачного азота к нитратному) – 0,2 ÷ 1,0. Установлено, что с повышением соотношений ЦР: СаСО 3 , N а: N н и температуры плотность суспензии снижается монотонно и прямолинейно. При концентрации суммы солей 30% с повышением температуры от 20 до 60°С, ЦР: СаСО 3 3: 1 и 4: 1 и N а: N н от 0,2 до 1,0 плотность суспензии уменьшается от 1,458, 1,447 до 1,293, 1,272 г/см 3 и от 1,429, 1,420 до 1,272, 1,249 г/см 3 соответственно. При аналогичных изменениях параметров значения вязкостей суспензий также снижается. С варьированием перечисленных параметров значения плотности суспензии колеблются в интервалах 1,272-1,415 и 1,368-1,502 г/см 3 , а вязкости – в пределах 1,30-3,78 и 1,49-7,09 сП соответственно при сумме солей 30-50%.

ABSTRACT

In this study the rheological properties (density and viscosity) of carbonate containing suspension forming during the conversion process of calcium nitrate into ammonium carbonate under the ratio recycling solution (RS):CaCO 3 equal to 3: 1 ÷ 8: 1, temperature - 20-60°С to N а: N n (the ratio of ammoniac nitrogen to nitrate) is 0,2 ÷ 1,0., have been studied. It has been established that with increasing RS:CaCO 3 , N а: N n and temperature, the suspension’s density is decreased monotonous and straight line. When concentration 30% of salt sum, suspension’ density is reduced from 1,458, 1,447 to 1,293, 1,272 g/сm 3 and from 1,429, 1,420 to 1,272, 1,249 g/сm 3 , respectively with temperature rise from 20 to 60°C , RS: CaCO 3 equal to 3: 1 and 4:1, N а: N n is from 0,2 to 1,0. The suspension’s viscosity is decreased under the analogous changes of the parameters. With variation of these noted parameters of the suspension’s density is varied in a range 1,272-1,415 and 1,368-1,502 g/сm 3 , and the viscosity is 1,30-3,78 and 1,49-7,09 centipoise, respectively with 30-50% of salt’s total.

As rheological properties let recommending transportation of formed suspension with existing pumping devises without some limitation that is the most important during the treatment in building chalk and ammonium nitrate.

Введение

Прогрессивным направлением в переработке низкосортного фосфатного сырья является применение метода азотнокислотного разложения, который позволяет использовать азотную кислоту не только как средство для перевода нерастворимых фосфатов в растворимую форму, но и как дополнительный источник питательных элементов.

Одним из важнейших вопросов в производстве фосфорсодержащих удобрений методом азотнокислотного разложения фосфоритов Центральных Кызылкумов является оптимальный выбор способа переработки побочного продукта – нитрата кальция. Образующийся нитрат кальция обладает неудовлетворительными физико-химическими свойствами, содержит около 10-11% азота, т.е. мало пригоден для применения в качестве удобрения. В научно-технической литературе имеются несколько способов переработки этого продукта , из которых наибольший практический интерес представляет конверсия нитрата кальция в карбонат кальция и нитрат аммония с помощью углекислого аммония .

Ранее нами было показано, что при репульпации и аммонизации азотнокислотной вытяжки на стадии азотнокислотного разложения предварительно обработанных фосфоритов образуется суспензия, состоящая из растворов нитрата аммония и кальция (НАК) и преципитата. Первая часть фильтрата, образующаяся при отделении преципитата возвращается в стадию репульпации азотнокислотной пульпы в качестве циркулирующего раствора нитрата аммония и кальция. Вторую часть раствора НАК можно перерабатывать с применением различных методов:

1. Непосредственная упарка раствора с получением азотнокальциевого удобрения, однако при этом получается продукт с неудовлетворительными физико-химическими свойствами.

2. Конверсия нитрата кальция раствором карбоната аммония с получением нитрата аммония и карбоната кальция по следующему уравнению:

Са(NO 3) 2 + (NH 4) 2 СO 3 = СаСO 3 + 2NH 4 NO 3

После отделения шлама фильтрат, содержащий аммиачную селитру, направляется для предварительной обработки низкосортных фосфоритов в качестве циркулирующего раствора. Отфильтрованный промытый мел может быть использован как строительный материал или высокоэффективное средство для известкования почв.

Необходимо отметить, что в процессе конверсии нитрата кальция в циркулирующем растворе образуется карбонатсодержащая суспензия с различным соотношением ЦР: СаСО 3 . В связи с этим нами были изучены реологические свойства (плотность и вязкость) карбонатсодержащих суспензий.

Экспериментальная часть

Плотность исследуемых пульп замеряли пикнометрическим методом (точность измерения до 10 −5 г/см³), вязкость – с помощью стеклянного капиллярного вискозиметра ВПЖ-1 (точность измерения ±0,1%) при температурах 20, 30, 40, 50 и 60°С (точность определения температуры ± 0,1°С). Для измерения плотности и вязкости суспензий соотношение ЦР: СаСО 3 варьировали в широких пределах от 3: 1 до 8: 1 и отношения N а: N н (соотношение аммиачного азота к нитратному) в растворе - от 0,2 до 1,0.

Результаты исследований

Как видно из экспериментальных данных (табл. 1 и 2), с повышением соотношений ЦР: СаСО 3 , N а: N н и температуры плотность суспензии снижается. Например, при ЦР: СаСО 3 3: 1 и 4: 1 с повышением N а: N н от 0,2 до 1,0 плотность суспензии уменьшается от 1,458, 1,447 до 1,293, 1,272 г/см 3 при 20°С и от 1,429, 1,420 до 1,272, 1,249 г/см 3 при 60°С соответственно при концентрации суммы солей 30% (табл. 1). Такая же картина наблюдается при концентрации суммы солей 50% и колеблется от 1,585, 1,568 до 1,386, 1,369 г/см 3 при 20°С и от 1,562, 1,543 до 1,368, 1,349 г/см 3 при 60°С соответственно (табл. 2). С увеличением доли нитратов кальция, т.е. со снижением соотношения N а: N н плотность увеличивается в 1,14 и 1,16 раза соответственно, при соотношении ЦР: СаСО 3 = 3:1 и 8:1 (температура 20°С). Повышение соотношений ЦР: СаСО 3 , N а: N н и влияние температуры на вязкость суспензии нивелируется (табл. 3 и 4), что связано с большой текучестью раствора нитрата аммония.

С варьированием перечисленных параметров плотность суспензии изменяется в интервалах 1,272-1,415 и 1,368-1,502 г/см 3 , вязкости - в интервалах 1,30-3,78 и 1,49-7,09 сП соответственно при сумме солей 30-50%.

Таблица 1.

Плотность карбонатсодержащей суспензии (концентрация НАК -30%)

Таблица 2.

Плотность карбонатсодержащей суспензии (концентрация НАК -50%)

Таблица 3.

Вязкость карбонатсодержащей суспензии (концентрация НАК -30%)

Таблица 4.

Вязкость карбонатсодержащей суспензии (концентрация НАК -50%)

Заключение

Таким образом, данные исследования свидетельствуют, реологические свойства суспензии, образующиеся при конверсии нитрата кальция карбонатом аммония, вполне приемлемы для технологических целей, т.е. суспензии текучи и их можно легко транспортировать существующими перекачивающими устройствами без каких-либо ограничений.

1. Алламуратова А.Ж., Эркаев А.У. Обогащение высококарбонатных фосфоритов Центральных Кызылкумов с помощью растворов нитратных солей // ДАН Академии наук РУз. – Ташкент, 2010. - №5. - С. 57-60.
2. Алламуратова А.Ж., Эркаев А.У. Технологический контроль основных параметров переработки низко-сортных фосфоритов Центральных Кызылкумов // Химическая технология. Контроль и управление.-2010. №6. С.19-23.
3. Алламуратова А.Ж., Эркаев А.У., Тоиров З.К., Реймов А.М. Технологические исследования получения фос-форсодержащих удобрений из азотнокислотной вытяжки фосфоритов Центральных Кызылкумов // Хими-ческая промышленность. – Санкт-Петербург, 2011. - т.88. - №3. - С. 109-114.
4. А.С. 538990 СССР. Способ получения карбоната кальция / Гольдинов А.Л., Новоселов Ф.И., Абрамов О.Б., Бевзенко И.И., Терещенко Л.Я., Тюрин Е.И., Логинов Н.Д., Афанасенко Б.П. // № 2029236/26; Заявлено 31.01.74; Опубликовано 15.12.76. Б.И. – 1976. - №46.
5. Гольдинов А.Л., Новоселов Ф.И., Абрамов О.Б., Афанасенко Б.П. Двухстадийный способ конверсии нитра-та кальция в карбонат кальция и нитрат аммония // Химическая промышленность. – 1981. - № 2. - С. 32-33.
6. Позин М.Е. Технология минеральных удобрений. / Л.: Химия. – 1989. – С.340.
7. Растворимость СаСО3 в водных растворах нитрата аммония // Труды ГИАП.-Выпуск 31. -1975. – С.5-8.
8. Фридман С.Д., Скум Л.С., Поляков Н.Н., Беляева Н.Н., Кириндасова Р.Я. Конверсия нитрата кальция в кар-бонат кальция и нитрат аммония. // Труды ГИАП. Химия и технология азотных удобрений. Выпуск. 31. - М., 1975. - С. 8-11.
9. Allamuratova A. J., Erkaev A. U., Reymov A. M. Conversion of calcium nitrate solution obtained from Kyzylkum phosphorite with ammonium carbonate // American Chemical Science Journal. – 2016. Vol. 16(4). P.1-6.

Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однородную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующимися расстояниями, большими по сравнению с размерами частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью , отличной от вязкости основной жидкости. Эта вязкость мэжет быть вычислена для случая малых концентраций взвешенных чгстиц (т. е. суммарный объем всех частиц предполагается, малым по сравнению с объёмом всей жидкости). Вычисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц (А. Эйнштейн, 1906).

В качестве вспомогательной задачи необходимо предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погруженный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее постоянным градиентом скорости.

Пусть невозмущенное шариком течение описывается линейным распределением скоростей

где - постоянный симметрический тензор. Давление в жидкости при этом постоянно: ; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу несжимаемости жидкости тензор а, должен иметь равный нулю след:

Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса R. Скорость измененного им течения обозначим посредством на бесконечности должно обращаться в нуль, но вблизи шарика отнюдь не мало по сравнению с Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что граничное условие гласит: при

Искомое решение уравнений движения (20,1-3) может быть получено непосредственно из найденного в § 20 решения (20,4) (с функцией f из (20,6)), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора (а не от вектора и, как в § 20). Таковым является

где обозначает вектор с компонентами Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные а и b в функции так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и давления:

(22,3)

(n - единичный вектор в направлении радиус-вектора).

Переходя теперь к самому вопросу об определении эффективной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объему) значение тензора плотности потока импульса совпадающего в линейном по скорости приближении с тензором напряжений -

Интегрирование можно производить здесь по объему V сферы большого радиуса, который затем устремляем к бесконечности.

Прежде всего пишем тождественно:

В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для одного отдельного шарика, как если бы других вообще не было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию суспензии (число шариков в единице объема). Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследования внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это затруднение путем преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравнений движения имеет место тождество

поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный дает

Член с мы опустили, имея в виду, что среднее давление непременно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, который должен определяться линейной комбинацией компонент тензора но единственный такой скаляр

При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении (22,3) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены - Простое вычисление дает для этого интеграла

где черта обозначает усреднение по направлениям единичного вектора . Производя усреднение, получим окончательно.