Ketidaksetaraan irasional dan cara untuk menyelesaikannya. Penyelesaian pertidaksamaan irasional. Tugas untuk solusi independen

Dalam pelajaran ini kita akan mempertimbangkan solusi dari pertidaksamaan irasional, kami akan memberikan berbagai contoh.

Topik: Persamaan dan Pertidaksamaan. Sistem persamaan dan pertidaksamaan

Pelajaran:Ketimpangan irasional

Saat menyelesaikan pertidaksamaan irasional, seringkali perlu menaikkan kedua sisi pertidaksamaan sampai tingkat tertentu, ini adalah operasi yang agak penting. Mari kita ingat fitur-fiturnya.

Kedua sisi pertidaksamaan dapat dikuadratkan jika keduanya non-negatif, baru kemudian kita mendapatkan pertidaksamaan yang benar dari pertidaksamaan yang sebenarnya.

Kedua sisi pertidaksamaan dapat berupa kubus dalam hal apa pun, jika pertidaksamaan asli benar, maka ketika kita pangkat tiga, kita mendapatkan pertidaksamaan yang benar.

Pertimbangkan ketidaksetaraan bentuk:

Ekspresi radikal harus non-negatif. Fungsi dapat mengambil nilai berapa pun, ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan.

Dalam kasus pertama, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita memiliki hak untuk kuadrat. Dalam kasus kedua, sisi kanan negatif, dan kita tidak punya hak untuk mengkuadratkan. Dalam hal ini perlu dilihat arti dari pertidaksamaan tersebut: di sini ekspresi positif ( Akar pangkat dua) lebih besar dari ekspresi negatif, yang berarti bahwa pertidaksamaan selalu terpenuhi.

Jadi, kami memiliki skema solusi berikut:

Dalam sistem pertama, kita tidak melindungi ekspresi radikal secara terpisah, karena ketika ketidaksetaraan kedua sistem terpenuhi, ekspresi radikal harus secara otomatis positif.

Contoh 1 - Memecahkan Ketimpangan:

Menurut skema, kami lolos ke set setara dari dua sistem ketidaksetaraan:

Mari kita ilustrasikan:

Beras. 1 - ilustrasi solusi dari contoh 1

Seperti yang kita lihat, ketika menyingkirkan irasionalitas, misalnya, ketika mengkuadratkan, kita mendapatkan satu set sistem. Terkadang desain yang rumit ini dapat disederhanakan. Di set yang dihasilkan, kami memiliki hak untuk menyederhanakan sistem pertama dan mendapatkan set yang setara:

Sebagai latihan mandiri perlu untuk membuktikan kesetaraan populasi ini.

Pertimbangkan ketidaksetaraan bentuk:

Mirip dengan ketidaksetaraan sebelumnya, kami mempertimbangkan dua kasus:

Dalam kasus pertama, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita memiliki hak untuk mengkuadratkan. Dalam kasus kedua, sisi kanan negatif, dan kita tidak punya hak untuk mengkuadratkan. Dalam hal ini perlu dicermati makna pertidaksamaan: di sini ungkapan positif (akar kuadrat) lebih kecil dari pada ungkapan negatif, yang berarti pertidaksamaan bersifat kontradiktif. Tidak perlu mempertimbangkan sistem kedua.

Kami memiliki sistem yang setara:

Terkadang Ketimpangan Irasional Dapat Dipecahkan secara grafis. Metode ini berlaku ketika grafik yang sesuai dapat dengan mudah dibangun dan menemukan titik persimpangannya.

Contoh 2 - Selesaikan pertidaksamaan secara grafis:

Kami telah memecahkan ketidaksetaraan pertama dan kami tahu jawabannya.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan secara grafis, Anda perlu memplot fungsi di ruas kiri dan fungsi di ruas kanan.

Beras. 2. Grafik fungsi dan

Untuk memplot grafik fungsi, perlu untuk mengubah parabola menjadi parabola (cerminkan terhadap sumbu y), geser kurva yang dihasilkan sebanyak 7 unit ke kanan. Grafik menegaskan bahwa fungsi ini menurun secara monoton dalam domain definisinya.

Grafik fungsi adalah garis lurus, mudah untuk memplotnya. Perpotongan y adalah (0; -1).

Fungsi pertama berkurang secara monoton, yang kedua meningkat secara monoton. Jika persamaan memiliki akar, maka itu adalah satu-satunya, mudah ditebak dari grafik :.

Ketika argumen kurang dari akar, parabola berada di atas garis lurus. Ketika argumen antara tiga dan tujuh, garis berada di atas parabola.

Kami punya jawabannya:

Metode yang efektif memecahkan pertidaksamaan irasional adalah metode interval.

Contoh 3 - Selesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval:

menurut metode interval, perlu untuk sementara menjauh dari ketidaksetaraan. Untuk melakukan ini, pindahkan semua pertidaksamaan yang diberikan ke ruas kiri (dapatkan nol di sebelah kanan) dan perkenalkan fungsi yang sama dengan ruas kiri:

sekarang perlu untuk memeriksa fungsi yang dihasilkan.

ODZ:

Kami telah menyelesaikan persamaan ini secara grafis, jadi kami tidak memikirkan menentukan akarnya.

Sekarang perlu untuk memilih interval keteguhan dan menentukan tanda fungsi pada setiap interval:

Beras. 3. Interval keteguhan misalnya 3

Ingatlah bahwa untuk menentukan tanda-tanda pada suatu interval, perlu untuk mengambil titik sampel dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi; tanda yang dihasilkan akan dipertahankan oleh fungsi sepanjang seluruh interval.

Mari kita periksa nilai pada titik batas:

Jawaban yang jelas adalah:

Perhatikan jenis pertidaksamaan berikut:

Pertama, kita tuliskan ODZ-nya:

Akarnya ada, mereka non-negatif, kita bisa kuadratkan kedua bagian. Kita mendapatkan:

Kami mendapat sistem yang setara:

Sistem yang dihasilkan dapat disederhanakan. Ketika ketidaksetaraan kedua dan ketiga terpenuhi, yang pertama secara otomatis benar. Kita punya:

Contoh 4 - Memecahkan Ketimpangan:

Kami bertindak sesuai dengan skema - kami mendapatkan sistem yang setara.

Sasaran:

Pendidikan umum: mensistematisasikan, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait dengan penerapan metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan.
Mengembangkan: mengembangkan kemampuan siswa untuk mendengarkan ceramah, menuliskannya secara ringkas di buku catatan.
Pendidikan: untuk membentuk motivasi kognitif untuk belajar matematika.

Selama kelas

I. Percakapan pengantar:

Kita telah menyelesaikan topik “Memecahkan persamaan irasional” dan hari ini kita mulai belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan irasional.

Pertama, mari kita ingat jenis ketidaksetaraan apa yang dapat Anda selesaikan dan dengan metode apa?

Menjawab: Linier, persegi, rasional, trigonometri. Kami memecahkan yang linier, melanjutkan dari sifat-sifat pertidaksamaan, dan mengurangi yang trigonometri ke yang paling sederhana trigonometri, diselesaikan menggunakan lingkaran trigonometri, dan sisanya, terutama dengan metode interval.

Pertanyaan: Pernyataan apa yang didasarkan pada metode spasi?

Menjawab: Pada teorema yang menyatakan bahwa fungsi kontinu yang tidak hilang pada suatu interval tetap memiliki tanda pada interval ini.

II. Mari kita pertimbangkan ketidaksetaraan irasional seperti>

Pertanyaan: Apakah mungkin untuk menerapkan metode interval untuk menyelesaikannya?

Menjawab: Ya, karena fungsinya y =- terus menerus D (y).

Kami memecahkan ketidaksetaraan ini metode interval .

Kesimpulan: kita cukup mudah memecahkan ketidaksetaraan irasional ini dengan metode interval, pada kenyataannya, menguranginya menjadi penyelesaian persamaan irasional.

Mari kita coba menyelesaikan ketidaksetaraan lain dengan metode ini.

3)f (x) terus menerus D (P)

4) Nol fungsi:

Pencarian panjang D (f).
Sulit untuk menghitung titik kontrol.

Timbul pertanyaan: "Apakah tidak ada cara lain untuk menyelesaikan ketidaksetaraan ini?"

Jelas ada, dan sekarang kita akan mengenal mereka.

AKU AKU AKU. Jadi, tema hari ini pelajaran: "Metode untuk memecahkan ketidaksetaraan irasional."

Pelajaran akan diadakan dalam bentuk kuliah, karena tutorial tidak memberikan analisis rinci tentang semua metode. Oleh karena itu, tugas penting kami adalah menyusun ringkasan rinci dari kuliah ini.

IV. Kami telah membahas metode pertama untuk memecahkan ketidaksetaraan irasional.

Dia - metode interval , metode universal untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan. Tapi itu tidak selalu mengarah ke tujuan dengan cara yang singkat dan sederhana.

V Saat memecahkan pertidaksamaan irasional, Anda dapat menggunakan ide yang sama seperti ketika memecahkan persamaan irasional, tetapi karena verifikasi solusi sederhana tidak mungkin (setelah semua, solusi untuk pertidaksamaan paling sering merupakan interval numerik bilangan bulat), maka perlu menggunakan kesetaraan.

Kami menyajikan skema untuk memecahkan jenis utama ketidaksetaraan irasional metode transisi ekuivalen dari satu pertidaksamaan ke sistem pertidaksamaan.

2. Dapat dibuktikan dengan cara yang sama bahwa

Mari kita tulis diagram ini di papan referensi. Pikirkan tentang bukti tipe 3 dan 4 di rumah, dalam pelajaran berikutnya kita akan membahasnya.

Vi. Mari selesaikan ketidaksetaraan dengan cara baru.

Ketidaksetaraan asli sama dengan seperangkat sistem.

vii. Dan ada metode ketiga yang sering membantu memecahkan ketidaksetaraan irasional yang kompleks. Kami telah membicarakannya dalam kaitannya dengan ketidaksetaraan dengan modulus. dia metode substitusi fungsi (substitusi pengali)... Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa inti dari metode penggantian adalah bahwa perbedaan nilai fungsi monoton dapat diganti dengan perbedaan nilai argumennya.

Pertimbangkan ketidaksetaraan irasional dari bentuk<,

itu adalah -< 0.

Dengan teorema, jika p(x) meningkat selama beberapa interval di mana A dan B, dan A>B, maka pertidaksamaan p (a) - p (b)> 0 dan a - b> 0 setara dengan D (p), itu adalah

VIII. Mari kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengganti faktor-faktornya.

Oleh karena itu, pertidaksamaan ini ekuivalen dengan sistem

Jadi, kita telah melihat bahwa menerapkan metode pertukaran faktor untuk mengurangi solusi ketidaksetaraan ke metode interval secara signifikan mengurangi jumlah pekerjaan.

IX. Sekarang kita telah membahas tiga metode utama untuk menyelesaikan persamaan, mari kita lakukan pekerjaan mandiri dengan self-test.

Hal ini diperlukan untuk melakukan angka-angka berikut (menurut buku teks AM Mordkovich): 1790 (a) - selesaikan_ dengan metode_ transisi yang setara, _ 1791 (a) - selesaikan dengan metode penggantian faktor. Untuk menyelesaikan ketidaksetaraan irasional, diusulkan untuk menggunakan metode yang sebelumnya dianalisis dalam memecahkan persamaan irasional:

perubahan variabel;
penggunaan LDZ;
menggunakan sifat-sifat monotonisitas fungsi.

Penyelesaian studi topik adalah tes.

Analisis tes kerja menunjukkan:

kesalahan khas siswa yang lemah, selain aritmatika dan aljabar, adalah transisi ekivalen yang salah ke sistem pertidaksamaan;
metode penggantian pengganda telah berhasil digunakan hanya oleh siswa yang kuat.

Setiap pertidaksamaan yang menyertakan fungsi di bawah akar disebut irasional... Ada dua jenis ketidaksetaraan tersebut:

Dalam kasus pertama, akarnya lebih kecil dari fungsi g (x), dalam kasus kedua, lebih besar. Jika g(x) - konstan, ketidaksetaraan disederhanakan secara drastis. Harap dicatat: secara lahiriah, ketidaksetaraan ini sangat mirip, tetapi skema solusinya pada dasarnya berbeda.

Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan ketidaksetaraan irasional dari tipe pertama - mereka adalah yang paling sederhana dan paling mudah dipahami. Tanda pertidaksamaan bisa ketat atau tidak ketat. Pernyataan berikut ini benar untuk mereka:

Dalil. Setiap ketidaksetaraan irasional dari bentuk

Setara dengan sistem pertidaksamaan:

Tidak lemah? Mari kita lihat dari mana sistem seperti itu berasal:

f (x) g 2 (x) - semuanya jelas di sini. Ini adalah pertidaksamaan kuadrat asli;
f (x) 0 adalah ODZ dari root. Biarkan saya mengingatkan Anda: akar kuadrat aritmatika hanya ada dari non-negatif nomor;
g (x) 0 adalah jangkauan akar. Dengan mengkuadratkan ketidaksetaraan, kita membakar kontra. Akibatnya, akar ekstra mungkin muncul. Pertidaksamaan g (x) 0 memotongnya.

Banyak siswa "terjebak" pada ketidaksetaraan pertama dari sistem: f (x) g 2 (x) - dan benar-benar melupakan dua lainnya. Hasilnya bisa ditebak: keputusan salah, poin hilang.

Karena ketidaksetaraan irasional adalah topik yang agak kompleks, kami akan menganalisis 4 contoh sekaligus. Dari dasar hingga yang sangat kompleks. Semua tugas diambil dari ujian masuk Universitas Negeri Moskow. M.V. Lomonosov.

Contoh pemecahan masalah

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Di depan kita adalah klasik ketidaksetaraan irasional: f(x) = 2x + 3; g (x) = 2 adalah konstanta. Kita punya:

Pada akhir penyelesaian, hanya dua dari tiga pertidaksamaan yang tersisa. Karena pertidaksamaan 2 0 selalu berlaku. Kami memotong ketidaksetaraan yang tersisa:

Jadi, x [−1,5; 0,5]. Semua titik terisi karena ketidaksetaraan tidak ketat.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Kami menerapkan teorema:

Kami memecahkan ketidaksetaraan pertama. Untuk melakukan ini, mari kita buka kuadrat selisihnya. Kita punya:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x (0; 10).

Sekarang mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua. Di sana juga trinomial persegi:

2x 2 - 18x + 16 0;
x 2 - 9x + 8 0;
(x - 8) (x - 1) 0;
x (−∞; 1] )